【題目】如圖1,已知線段AB、CD相交于點(diǎn)O,連接AC、BD,則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”.
(1)求證:∠A+∠C=∠B+D;
(2)如圖2,若∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P,且與CD、AB分別相交于點(diǎn)M、N.
①以線段AC為邊的“8字型”有 個(gè),以點(diǎn)O為交點(diǎn)的“8字型”有 個(gè);
②若∠B=100°,∠C=120°,求∠P的度數(shù);
③若角平分線中角的關(guān)系改為“∠CAP=∠CAB,∠CDP=∠CDB”,試探究∠P與∠B、∠C之間存在的數(shù)量關(guān)系,并證明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)①3, 4;②∠P=110°;③3∠P=∠B+2∠C,理由見解析.
【解析】
(1)由三角形內(nèi)角和得到∠A+∠C=180°﹣∠AOC,∠B+∠D=180°﹣∠BOD,由對(duì)頂角相等,得到∠AOC=∠BOD,因而∠A+∠C=∠B+∠D;
(2)①以線段AC為邊的“8字形”有3個(gè),以O為交點(diǎn)的“8字形”有4個(gè);
②根據(jù)(1)的結(jié)論,以M為交點(diǎn)“8字型”中,∠P+∠CDP=∠C+∠CAP,以N為交點(diǎn)“8字型”中,∠P+∠BAP=∠B+∠BDP,兩等式相加得到2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP,由AP和DP是角平分線,得到∠BAP=∠CAP,∠CDP=∠BDP,從而∠P=(∠B+∠C),然后將∠B=100,∠C=120代入計(jì)算即可;
③與②的證明方法一樣得到3∠P=∠B+2∠C.
解:(1)在圖1中,有∠A+∠C=180°﹣∠AOC,∠B+∠D=180°﹣∠BOD,
∵∠AOC=∠BOD,
∴∠A+∠C=∠B+∠D;
(2)解:①以線段AC為邊的“8字型”有3個(gè):
以點(diǎn)O為交點(diǎn)的“8字型”有4個(gè):
②以M為交點(diǎn)“8字型”中,有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP,
以N為交點(diǎn)“8字型”中,有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP
∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP,
∵AP、DP分別平分∠CAB和∠BDC,
∴∠BAP=∠CAP,∠CDP=∠BDP,
∴2∠P=∠B+∠C,
∵∠B=100°,∠C=120°,
∴∠P=(∠B+∠C)=(100°+120°)=110°;
③3∠P=∠B+2∠C,其理由是:
∵∠CAP=∠CAB,∠CDP=∠CDB,
∴∠BAP=∠CAB,∠BDP=∠CDB,
以M為交點(diǎn)“8字型”中,有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP,
以N為交點(diǎn)“8字型”中,有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP
∴∠C﹣∠P=∠CDP﹣∠CAP=(∠CDB﹣∠CAB),
∠P﹣∠B=∠BDP﹣∠BAP=(∠CDB﹣∠CAB).
∴2(∠C﹣∠P)=∠P﹣∠B,
∴3∠P=∠B+2∠C.
故答案為:(1)證明見解析;(2)①3, 4;②∠P=110°;③3∠P=∠B+2∠C,理由見解析.
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【題目】已知反比例函數(shù) ,則下列結(jié)論不正確的是( )
A.圖象必經(jīng)過點(diǎn)(-1,5)
B.圖象的兩個(gè)分支分布在第二、四象限
C.y隨x的增大而增大
D.若x>1,則-5<y<0
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【題目】我們知道,有理數(shù)包括整數(shù)、有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù),事實(shí)上,所有的有理數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù)形式(整數(shù)可看作分母為1的分?jǐn)?shù)),那么無限循環(huán)小數(shù)如何表示為分?jǐn)?shù)形式呢?請(qǐng)看以下示例:
例:將化為分?jǐn)?shù)形式,
由于,設(shè),①
得,②
②①得,解得,于是得.
同理可得,.
根據(jù)以上閱讀,回答下列問題:(以下計(jì)算結(jié)果均用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)
(類比應(yīng)用)
(1) ;
(2)將化為分?jǐn)?shù)形式,寫出推導(dǎo)過程;
(遷移提升)
(3) , ;(注,)
(拓展發(fā)現(xiàn))
(4)若已知,則 .
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【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,且OA=OC.則下列結(jié)論:①abc<0;② ;③ac-b+1=0;④OA·OB= .其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
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【題目】如圖,BD為正方形ABCD的對(duì)角線,BE平分∠DBC,交DC與點(diǎn)E,將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF,若CE=1 cm,則BF=cm.
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【題目】如圖,直線l1:y1=﹣x+b分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B,與直線l2:y2=x交于點(diǎn)C(2,2).
(1)若y1<y2,請(qǐng)直接寫出x的取值范圍;
(2)點(diǎn)P在直線l1:y1=﹣x+b上,且△OPC的面積為3,求點(diǎn)P的坐標(biāo)?
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【題目】有一批共享單車需要維修,維修后繼續(xù)投放騎用,現(xiàn)有甲、乙兩人做維修,甲每天維修16輛,乙每天維修的車輛比甲多8輛,甲單獨(dú)維修完成這批共享單車比乙單獨(dú)維修完多用20天,公司每天付甲80元維修費(fèi),付乙120元維修費(fèi).
(1)問需要維修的這批共享單車共有多少輛?
(2)在維修過程中,公司要派一名人員進(jìn)行質(zhì)量監(jiān)督,公司負(fù)擔(dān)他每天10元補(bǔ)助費(fèi),現(xiàn)有三種維修方案:①由甲單獨(dú)維修;
②由乙單獨(dú)維修;
③甲、乙合作同時(shí)維修,你認(rèn)為哪種方案最省錢,為什么?
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【題目】甲乙兩同學(xué)用一副撲克牌中牌面數(shù)字分別是3,4,5,6的4張牌做抽數(shù)字游戲,游戲規(guī)則是:將這4張牌的正面全部朝下,洗勻,從中隨機(jī)抽取一張,抽得的數(shù)作為十位上的數(shù)字,抽出的牌不放回,然后將剩下的牌洗勻,再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張,抽得的數(shù)作為個(gè)位上的數(shù)字,這樣就得到一個(gè)兩位數(shù),若這個(gè)兩位數(shù)小于45,則甲獲勝,否則乙獲勝.你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎?請(qǐng)利用樹狀圖或列表法說明理由.
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【題目】定義:P、Q分別是兩條線段a,b上任意一點(diǎn),線段PQ長(zhǎng)度的最小值叫做線段a與線段b的距離.已知,O(0,0),A(4,0),B(m,n),C(m+4,n)是平面直角坐標(biāo)系中四點(diǎn).
(1)根據(jù)上述定義,當(dāng)m=2,n=2時(shí),如圖1,線段BC與線段OA的距離為;當(dāng)m=5,n=2時(shí),如圖2,線段BC與線段OA的距離(即線段AB的長(zhǎng))為;
(2)如圖3,若點(diǎn)B落在圓心為A,半徑為2的圓上,線段BC與線段OA的距離記為d,求d關(guān)于m的函數(shù)解析式.
(3)當(dāng)m值變化時(shí),動(dòng)線段BC與線段OA的距離始終為2,線段BC的中點(diǎn)為M,點(diǎn)D(0,2),m≥0,n≥0,作MH⊥x軸,垂足為H,是否存在m值,使以A、M、H為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似?若存在,求出m值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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