Question

【題目】已知：如圖，在菱形ABCD中， BE⊥AD于點E，延長AD至F，使DF=AE，連接CF．

（1）判斷四邊形EBCF的形狀，并證明；

（2）若AF=9，CF=3，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）四邊形EBCF是矩形，證明見解析；（2）CD =5

【解析】

（1）由菱形的性質(zhì)證得EF=BC，由此證明四邊形EBCF是平行四邊形.，再利用BE⊥AD即可證得四邊形EBCF是矩形；

（2）設(shè)CD=x，根據(jù)菱形的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)得到DF=9-x，再利用勾股定理求出答案.

（1）四邊形EBCF是矩形

證明：∵四邊形ABCD菱形，

∴AD=BC，AD∥BC.

又∵DF=AE，

∴DF+DE=AE+DE，

即：EF = AD.

∴ EF = BC.

∴四邊形EBCF是平行四邊形.

又∵BE⊥AD，

∴ ∠BEF=90°.

∴四邊形EBCF是矩形.

（2） ∵ 四邊形ABCD菱形，

∴ AD=CD.

∵ 四邊形EBCF是矩形，

∴ ∠F=90°.

∵AF=9，CF=3，

∴設(shè)CD=x， 則DF=9-x，

∴ ，

解得：

∴CD =5.