【題目】已知,是等邊三角形,是直線上一點(diǎn),以為頂點(diǎn)做 . 交過且平行于的直線于,求證:;當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí),(如圖1)小明同學(xué)很快就證明了結(jié)論:他的做法是:取的中點(diǎn),連結(jié),然后證明. 從而得到,我們繼續(xù)來研究:
(1)如圖2、當(dāng)D是BC上的任意一點(diǎn)時(shí),求證:
(2)如圖3、當(dāng)D在BC的延長線上時(shí),求證:
(3)當(dāng)在的延長線上時(shí),請利用圖4畫出圖形,并說明上面的結(jié)論是否成立(不必證明).
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(4)見解析,,仍成立
【解析】
(1)在AB上截取AF=DC,連接FD,證明△BDF是等邊三角形,得出∠BFD=60°,證出∠FAD=∠CDE,由ASA證明△AFD≌△DCE,即可得出結(jié)論;
(2)在BA的延長線上截取AF=DC,連接FD,證明△BDF是等邊三角形得出∠F=60°,證出∠FAD=∠CDE,由ASA證明△AFD≌△DCE,即可得出結(jié)論;
(3)在AB的延長線上截取AF=DC,連接FD,證明△BDF是等邊三角形,得出∠BFD=60°,證出∠FAD=∠CDE,由ASA證明△AFD≌△DCE,即可得出結(jié)論.
(1)證明:在AB上截取AF=DC,連接FD,如圖所示:
∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=BC,∠B=60°,
又∵AF=DC,
∴BF=BD,
∴△BDF是等邊三角形,
∴∠BFD=60°,
∴∠AFD=120°,
又∵AB∥CE,
∴∠DCE=120°=∠AFD,
而∠EDC+∠ADE=∠ADC=∠FAD+∠B∠ADE=∠B=60°,
∴∠FAD=∠CDE,
在△AFD和△DCE中
,
∴△AFD≌△DCE(ASA),
∴AD=DE;
(2)證明:在BA的延長線上截取AF=DC,連接FD,如圖所示:
∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=BC,∠B=60°,
又∵AF=DC,
∴BF=BD,
∴△BDF是等邊三角形,
∴∠F=60°,
又∵AB∥CE,
∴∠DCE=60°=∠F,
而∠FAD=∠B+∠ADB,∠CDE=∠ADE+∠ADB,
又∵∠ADE=∠B=60°,
∴∠FAD=∠CDE,
在△AFD和△DCE中,
,
∴△AFD≌△DCE(ASA),
∴AD=DE;
(3)解:AD=DE仍成立.理由如下:
在AB的延長線上截取AF=DC,連接FD,如圖所示:
∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=BC,∠ABC=60°,
∴∠FAD+∠ADB=60°,
又∵AF=DC,
∴BF=BD,
∵∠DBF=∠ABC=60°,
∴△BDF是等邊三角形,
∴∠AFD=60°,
又∵AB∥CE,
∴∠DCE=∠ABC=60°,
∴∠AFD=∠DCE,
∵∠ADE=∠CDE+∠ADB=60°,
∴∠FAD=∠CDE,
在△AFD和△DCE中,
,
∴△AFD≌△DCE(ASA),
∴AD=DE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)P(﹣3a﹣4,2+a),解答下列各題:
(1)若點(diǎn)P在x軸上,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為P ;
(2)若Q(5,8),且PQ∥y軸,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為P ;
(3)若點(diǎn)P在第二象限,且它到x軸、y軸的距離相等,求a2018+2018的值.
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【題目】如圖,BD是△ABC的中線,△ABD的周長比△BCD的周長多2 cm.若△ABC的周長為18 cm,且AC=4 cm,求AB和BC的長..
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,CD、CE分別是△ABC的高和角平分線.
(1)若∠A=30°,∠B=50°,求∠ECD的度數(shù);
(2)試用含有∠A、∠B的代數(shù)式表示∠ECD(不必證明)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四邊形中,是邊上一點(diǎn),點(diǎn)從出發(fā)以秒的速度沿線段運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)從出發(fā),沿線段、射線運(yùn)動(dòng),當(dāng)運(yùn)動(dòng)到,兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(秒):
(1)當(dāng)與的速度相同,且時(shí),求證:
(2)當(dāng)與的速度不同,且分別在上運(yùn)動(dòng)時(shí)(如圖1),若與全等,求此時(shí)的速度和值;
(3)當(dāng)運(yùn)動(dòng)到上,運(yùn)動(dòng)到射線上(如圖2),若的速度為秒,是否存在恰當(dāng)?shù)倪?/span>的長,使在運(yùn)動(dòng)過程中某一時(shí)刻剛好與全等,若存在,請求出此時(shí)的值和邊的長;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一蓄水池有水40m3,按一定的速度放水,水池里的水量y(m3)與放水時(shí)間t(分)有如下關(guān)系:
放水時(shí)間(分) | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
水池中水量(m3) | 38 | 36 | 34 | 32 | … |
下列結(jié)論中正確的是( )
A. y隨t的增加而增大
B. 放水時(shí)間為15分鐘時(shí),水池中水量為8m3
C. 每分鐘的放水量是2m3
D. y與t之間的關(guān)系式為y=40t
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),以O為圓心,OA為半徑作,交y軸于點(diǎn)C,直線l:經(jīng)過點(diǎn)C.
設(shè)直線l與的另一個(gè)交點(diǎn)為如圖,求弦CD的長;
將直線l向上平移2個(gè)單位,得直線m,如圖2,求證:直線m與相切;
在的前提下,設(shè)直線m與切于點(diǎn)P,Q為上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作,交直線QA于點(diǎn)如圖,則的最大面積為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一茶葉專賣店經(jīng)銷某種品牌的茶葉,該茶葉的成本價(jià)是80元/kg,銷售單價(jià)不低于120元/kg.且不高于180元/kg,經(jīng)銷一段時(shí)間后得到如下數(shù)據(jù):
銷售單價(jià)x(元/kg) | 120 | 130 | … | 180 |
每天銷量y(kg) | 100 | 95 | … | 70 |
設(shè)y與x的關(guān)系是我們所學(xué)過的某一種函數(shù)關(guān)系.
(1)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式,并指出自變量x的取值范圍;
(2)當(dāng)銷售單價(jià)為多少時(shí),銷售利潤最大?最大利潤是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,AB∥CD,EF分別交AB、CD于點(diǎn)E、F,EG平分∠AEF,FH平分∠EFD,求證:EG∥FH.
證明:∵AB∥CD( ),
∴∠AEF=∠EFD( ),
∵EG平分∠AEF,FH平分∠EFD( ),
∴∠ =∠AEF,
∠ =∠EFD(角平分線定義),
∴∠ =∠ .
∴EG∥FH( )
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