Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是平行四邊形，OB=OC=2，AB=.

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)，直線CD的函數(shù)表達(dá)式；

(2)已知點(diǎn)P是直線CD上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P滿足S△PAO=S△ABO時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)M在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則在直線AB上是否存在點(diǎn)F（不與A、B重合），使以A、 C、 F、M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形?若存在，直接寫出F點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）D（4，3），；（2）P（3，）或（-3，）；（3）F（-3，0）或（2，6）或（，）或（，）.

【解析】

（1）先求出A點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)得到D點(diǎn)的坐標(biāo)，利用C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出解析式；

（2）利用點(diǎn)P是直線CD上一點(diǎn)，AO為△PAO的底邊不變，并且S△PAO=S△ABO，分兩種情況討論即可；

（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)，分AC、AF是鄰邊，AC、AF是鄰邊，AC是對角線，AF是對角線四種的情況分別進(jìn)行求解計(jì)算．

解：∵OB=OC=2，AB=，

∴AD=OB+OC=2+2=4，

，

∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，3），

D點(diǎn)的坐標(biāo)為：（4，3），

C點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2，0），

設(shè)直線CD的函數(shù)表達(dá)式為：，

∴將C，D點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得：

，解之得：，

∴直線CD的函數(shù)表達(dá)式為：，

（2）

如圖示：∵

∴

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）

即：，

∴，

則：，或

∴，或

即P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）或（-3，）；

（3） ∵由（1）得OB=OC=2，AB=，OA=3，

∴AC=，

①當(dāng)AC、AF是鄰邊時(shí)，如圖示，

AF=AC=，即點(diǎn)F與B重合，

∴F的坐標(biāo)為（-3，0），
②當(dāng)AC、AF是鄰邊，如圖示，

M在直線AD上，且FC垂直平分AM，C，F沿AD成軸對稱，
則F的坐標(biāo)為：（2，6），

③AC是對角線時(shí)，如圖示：

作AC垂直平分線FE，

∵AC經(jīng)過A（0，3），C（2，0），

∴AC解析式為：，并且E點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，），

∵，

∴設(shè)FE的解析式為：，將E點(diǎn)坐標(biāo)，代入化簡得：

FE的解析式為：

又∵AB經(jīng)過A（0，3），B（-2，0），

∴AB解析式為：，

∴Ｆ點(diǎn)的坐標(biāo)為方程組 的解，

解之得： ,

∴則F的坐標(biāo)為：（，）,

④AF是對角線時(shí)，如圖示：

過C作AB垂線，垂足為N，

則

∵，

∴，

∴，，

設(shè)F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，根據(jù)F點(diǎn)在AB上，并AB解析式為：，

∴F的坐標(biāo)為：（，）,

則根據(jù)勾股定理，有：

∴，，

∴

∴F的坐標(biāo)為：（，）

綜上所述，F點(diǎn)的坐標(biāo)為：（-3，0）或（2，6）或（，）或（，）