Question

如圖，在平面直角坐標系中，以點M（0，

3

）為圓心，以2

3

長為半徑作⊙M交x軸于A、B兩點，交y軸于C、D兩點，連接AM并延長交⊙M于P點，連接PC交x軸于E．
（1）求點C、P的坐標；
（2）求證：BE=2OE．

Answer 1

分析：（1）連接PB．根據(jù)直徑所對的圓周角是直角判定PB⊥OM；由已知條件OA=OB推知OM是三角形APB的中位線；最后根據(jù)三角形的中位線定理求得點P的坐標、由⊙M的半徑長求得點C的坐標；
（2）連接AC，證△AMC為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三個內(nèi)角都是60°、直徑所對的圓周角∠ACP=90°求得∠OCE=30°，然后在直角三角形OCE中利用30°角所對的直角邊是斜邊的一半來證明BE=2OE．

解答：（1）解：連接PB，∵PA是圓M的直徑，∴∠PBA=90°
∴AO=OB=3
又∵MO⊥AB，∴PB∥MO．∴PB=2OM=2

3

∴P點坐標為（3，2

3

）（2分）
在直角三角形ABP中，AB=6，PB=2

3

，
根據(jù)勾股定理得：AP=4

3

，
所以圓的半徑MC=2

3

，又OM=

3

，
所以OC=MC-OM=

3

，
則C（0，-

3

）（1分）

（2）證明：連接AC．
∵AM=MC=2

3

，AO=3，OC=

3

，
∴AM=MC=AC=2

3

，
∴△AMC為等邊三角形（2分）
又∵AP為圓M的直徑
得∠ACP=90°
得∠OCE=30°（1分）
∴OE=1，BE=2
∴BE=2OE．（2分）

點評：本題綜合考查了圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及坐標與圖形性質(zhì)．解答該題時通過作輔助線AC、BP構建直徑所對的圓周角∠ACP、∠ABP，然后利用圓周角定理來解決問題．