Question

【題目】已知：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)和點(diǎn)分別在軸和軸的正半軸上，的平分線與正比例函數(shù)交于點(diǎn)，且與相交于點(diǎn)，在軸負(fù)半軸上有一點(diǎn).

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，求證：；

（3）如圖3，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，若，，求直線的解析式.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，通過(guò)角的運(yùn)算得出；

（2）如圖所示作輔助線，根據(jù)已知條件，得出四邊形為正方形，再根據(jù)角平分線的定義及全等三角形的性質(zhì)得出；

（3）如圖所示作輔助線，通過(guò)輔助線及等量代換，得出，進(jìn)而得出為等腰直角三角形，得出，再通過(guò)，設(shè)出未知數(shù)，表達(dá)出，根據(jù)已知條件及勾股定理，列出方程，解出A，B坐標(biāo)，進(jìn)而求出一次函數(shù)的解析式.

（1）如圖1，∵平分

∴

∵正比例函數(shù)的圖象是直線

∴

∵

∴

∵

∴

∴

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn).

∵

∴

∴四邊形為矩形

∵

∴

∴

∴四邊形為正方形

∴

∵是的角平分線

∴

∵

∴

∵，

∴

∴

∵，

∴

∴

∵

∴

（3）如圖3，延長(zhǎng)到點(diǎn)，由（2）問(wèn)可得平分，

∵平分

∴由（1）問(wèn)的方法可得

∵

∴為等腰直角三角形

即

過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，

∵，，

∴

∵，，

∴

∴

∴，

即為等腰直角三角形

∴

∵

∴

∵，，

∴設(shè)，

∴，，，，

∵，

∴

由（2）可知

設(shè)，則，即，

在中

∴

即，

設(shè)直線的解析式為

解得，.