【題目】已知:如圖1,直線y= x+6與x軸、y軸分別交于點A、C兩點,點B的橫坐標為2.
(1)求A、C兩點的坐標和拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)點D是直線AC上方拋物線上任意一點,P為線段AC上一點,且SPCD=2SPAD , 求點P的坐標;
(3)如圖2,另有一條直線y=﹣x與直線AC交于點M,N為線段OA上一點,∠AMN=∠AOM.點Q為x軸負半軸上一點,且點Q到直線MN和直線MO的距離相等,求點Q的坐標.

【答案】
(1)解:在y= x+6中,

令x=0,則y=6;令y=0,則x=﹣8,

∴A(﹣8,0),C(0,6),

∵點B的橫坐標為2,

∴B(2,0),

設(shè)拋物線解析式為y=a(x+8)(x﹣2),則

把C(0,6)代入,得6=a×(﹣16),

∴a=﹣ ,

∴y=﹣ (x+8)(x﹣2),


(2)解:如圖所示,過P作PH⊥AO于H,

∵SPCD=2SPAD,

∴AP:PC=1:2,

∵PH∥CO,

∴AH:HO=1:2,

即OH= AO,

又∵AO=8,

∴OH=8× = ,

∴點P的橫坐標為 ,

在直線y= x+6中,當x= 時,y= ×( )+6=2,

∴點P的縱坐標為2,

∴點P的坐標為( ,2)


(3)解:分兩種情況:

①當點Q1為∠NMO的平分線與x軸的交點時,點Q1到直線MN和直線MO的距離相等,

∵直線y=﹣x與直線y= x+6交于點M,

∴M(﹣ ),

又∵A(﹣8,0),

∴由兩點間距離公式可得AM= =

∵∠AMN=∠AOM,∠MAN=∠OAM,

∴△AMN∽△AOM,

∴AM2=AN×AO,即( 2=AN×8,

∴AN= ,

∴ON=AO﹣AN= ,

即N(﹣ ,0),

∴由兩點間距離公式可得MN= ,MO= ,

∵MQ1平分∠NMO,

= = ,

∴OQ1= NO= = ,

即點Q1的坐標為( ,0);

②當點Q2為∠NMO的鄰補角的平分線與x軸的交點時,點Q2到直線MN和直線MO的距離相等,

根據(jù)Q1 ,0),M(﹣ ),可得

直線MQ1解析式為y=﹣3x﹣

∵MQ1⊥MQ2,

∴可設(shè)直線MQ2解析式為y= x+b,

把M(﹣ , )代入,可得b= ,

∴直線MQ2解析式為y= x+

∴當y=0時,0= x+

解得x=﹣ ,

即點Q2的坐標為( ,0).

綜上所述,點Q的坐標為( ,0)或( ,0)


【解析】(1)根據(jù)直線y= x+6,可得A(﹣8,0),C(0,6),設(shè)拋物線解析式為y=a(x+8)(x﹣2),把C(0,6)代入,可得拋物線的函數(shù)關(guān)系式;(2)過P作PH⊥AO于H,根據(jù)SPCD=2SPAD , 可得AP:PC=1:2,即AH:HO=1:2,進而得到OH= AO=8× = ,在直線y= x+6中,當x= 時,y= ×( )+6=2,可得點P的坐標為( ,2);(3)分兩種情況進行討論:①當點Q1為∠NMO的平分線與x軸的交點時,點Q1到直線MN和直線MO的距離相等;②當點Q2為∠NMO的鄰補角的平分線與x軸的交點時,點Q2到直線MN和直線MO的距離相等,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得N(﹣ ,0),再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得點Q1的坐標為( ,0);最后根據(jù)MQ1⊥MQ2 , 可得直線MQ2解析式為y= x+ ,進而得到點Q2的坐標為( ,0).
【考點精析】通過靈活運用角平分線的性質(zhì)定理和相似三角形的判定與性質(zhì),掌握定理1:在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等; 定理2:一個角的兩邊的距離相等的點,在這個角的平分線上;相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題.

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,,,……,

=1﹣

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