Question

如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)P，Q在線段BC上移動(dòng)（都不與B，C重合），點(diǎn)P在Q的左邊，PQ=1，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥CB，交AC于M，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥CB，交AB于N，連接MN．記CP的長(zhǎng)為t．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形MPQN是矩形？
（2）設(shè)四邊形MPQN的面積為S，請(qǐng)說(shuō)明當(dāng)P，Q移動(dòng)時(shí)，S是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)t取何值時(shí)，以點(diǎn)C，P，M為頂點(diǎn)的三角形與以A，M，N為頂點(diǎn)的三角形相似．判斷此時(shí)△MNP的形狀，并請(qǐng)說(shuō)出理由．

Answer 1

分析：（1）可用兩種方法：
①根據(jù)△ABC是等邊三角形及PM⊥CB，QN⊥CB且PM=NQ，得出△MPC≌△NQB，從而求出t的值；
②由于四邊形MPQN是矩形，所以在MPQN中PM=NQ，據(jù)此列出關(guān)于t的等式，解方程即可．
（2）根據(jù)（1）中所求PM、QN的表達(dá)式，利用梯形面積表達(dá)式即可求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)邊的不同，會(huì)得到不同的相似三角形，再分兩種情況討論．

解答：解：（1）解法一：∵四邊形MPQN是矩形，
∴PM=NQ，（1分）
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，
又∵PM⊥CB，QN⊥CB，
∴∠MPC=∠NQB=90°，
∴△MPC≌△NQB，
∴CP=BQ=t，
又∵PQ=1，CP+PQ+BQ=2，
∴t+1+t=2，即t=

1

2

；
解法二：∵△ABC是等邊三角形，PM⊥CB，QN⊥CB，
∴∠B=∠C=60°，
在Rt△CPM和Rt△BQN中，
∵CP=t，BQ=1-t，
∴PM=CP•tanC=t•tan60°=

3

t，
QN=BQ•tanB=（1-t）tan60°=

3

（1-t），
∵四邊形MPQN是矩形，
∴PM=NQ，（1分）
即：

3

t=(1-t)

3

，
解得：t=

1

2

；

（2）S是定值，同（1）中解法二有：∴PM=

3

t，QN=(1-t)

3

，
∴SMPNQ=

1

2

×1×[

3

t+(1-t)

3

]=

3

2

；（2分）

（3）∵△CMP是Rt△，且∠CPM=90°，∠C=60°，△AMN中∠A=60°，
若使△CMP與△AMN相似，對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)只能是：C→A，P→N，M→M或C→A，P→M，M→N，（1分）
①當(dāng)C→A，P→N，M→M時(shí)，由△CMP∽△AMN得：
∵CM=2t，BN=2（1-t）
∴AM=2-2t，AN=2-2（1-t）=2t，
∴

t

2t

=

2t

2-2t

，
解得：t=

1

3

；（1分）
②當(dāng)C→A，P→M，M→N時(shí)，由△CMP∽△ANM得：

CP

AM

=

CM

AN

，
∴

t

2-2t

=

2t

2t

，解得：t=

2

3

，
綜合，所求t=

1

3

或

2

3

．
當(dāng)t=

2

3

時(shí)，都有AM=CP=BN，AN=CM=BP，
且∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ANM≌△CMP≌△BPN，
∴NM=MP=PN即△MNP是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題是一道動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是充分利用相似三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)列出關(guān)于t的等式解答．