精英家教網(wǎng)已知:如圖,等邊△ABC的邊長為6,點D、E分別在AB、AC上,且AD=AE=2,直線l過點A,且l∥BC,若點F從點B開始以每秒1個單位長的速度沿射線BC方向運動,設(shè)F點運動的時間為t秒,當(dāng)t>0時,直線DF交l于點G,GE的延長線與BC的延長線交于點H,AB與GH相交于點O.
(1)當(dāng)t為何值時,AG=AE?
(2)請證明△GFH的面積為定值;
(3)當(dāng)t為何值時,點F和點C是線段BH的三等分點?
分析:(1)由GA∥BC可得△ADG∽△BDF,又BF=t,可得AG=
1
2
t
,又AG=AE,問題可求.
(2)由題意,點D、E的位置不變,AD=AE=2,△GDE∽△GFH,可得
DE
FH
的比值不變,即FH的長度不變,△GFH的FH邊的高為定值,從而可證明△GFH的面積為定值.
(3)點F和點C是線段BH的三等分點,則BF=FC=CH,BF=t,由運動過程,點F有兩種可能的位置,即在BC內(nèi),在BC外.在BC內(nèi)時,BF+FC=BC=6,即2t=6;在BC外時,t=2BC=12,問題解決.
解答:解:(1)∵GA∥BC,
∴△ADG∽△BDF,
AG
BF
=
AD
BD

∵AB=6,AD=2,∴BD=4,
AG
t
=
2
4
∴AG=
1
2
t
,
若AG=AE,
∵AE=AD,
∴有
1
2
t
=2,
即t=4s時,AG=AE.
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(2)∵AD=AE.AB=AC,∠DAE=∠BAC,
∴△ADE∽△ABC,
DE
BC
=
AE
AC
,∠1=∠B,
∴DE∥BH
∴△GDE∽△GFH,
DE
FH
=
GE
EH

又∵l∥BC
DE
BC
=
DE
FH

∴BC=FH=6,
又∵△ABC與△GFH高相等.令高為h,則h=
62-32
=3
3
,
∴S△GFH=
1
2
×6×3
3
=9
3
,即△GFH面積為定值.

(3)點F和點C是線段BH的三等分點,
①當(dāng)點F在線段BC內(nèi)時,則BF=FC=CH,∴BF=
1
2
BC=3,
∴t=3時,點F和點C是線段BH的三等分點,
②當(dāng)點F在線段BC的延長線上時,則BC=CF=FH=6,
∴BF=2×6=12
∴當(dāng)t=12時,點F,點C是線段BH的三等分點,
綜上所述,當(dāng)t=3s或12s時,
點F,點C是線段BH的三等分點.
點評:此題綜合考查相似三角形,函數(shù)與幾何圖形的關(guān)系,動點的運動,運用多種知識點,分類思想等,綜合性很強.
練習(xí)冊系列答案
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已知:如圖,等邊△ABC內(nèi)接于⊙O,點P是劣弧
BC
上的一點(端點除外),延長BP至D,使BD=AP,連接CD.
(1)若AP過圓心O,如圖①,請你判斷△PDC是什么三角形?并說精英家教網(wǎng)明理由;
(2)若AP不過圓心O,如圖②,△PDC又是什么三角形?為什么?

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精英家教網(wǎng)已知,如圖,等邊三角形ABC邊長為2,以BC為對稱軸將△ABC翻折,得到四邊形ABDC,將此四邊形放在直角坐標(biāo)系xOy中,使AB在x軸上,點D在直線y=
3
2
x-
3
上.
(1)根據(jù)上述條件畫出圖形,并求出A、B、D、C的坐標(biāo);
(2)若直線y=
3
2
x-
3
與y軸交于點P,拋物線y=ax2+bx+c,過A、B、P三點,求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(3)求出拋物線的頂點坐標(biāo),并指出這個點在△ABC的什么特殊位置.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知:如圖,等邊△ABC的邊長為2,E為BC邊的中點,分別以頂點B、C為圓心,BE、CE長為半徑畫弧交AB、AC于點D、F.求圖中陰影部分的面積.

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已知:如圖,等邊三角形ABD與等邊三角形ACE具有公共頂點A,連接CD,BE,交于點P.
(1)觀察度量,∠BPC的度數(shù)為
120°
120°
.(直接寫出結(jié)果)
(2)若繞點A將△ACE旋轉(zhuǎn),使得∠BAC=180°,請你畫出變化后的圖形.(示意圖)
(3)在(2)的條件下,求出∠BPC的度數(shù).

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