Question

已知：如圖，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P是劣弧

BC

上的一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），延長BP至D，使BD=AP，連接CD．
（1）若AP過圓心O，如圖①，請你判斷△PDC是什么三角形？并說明理由；
（2）若AP不過圓心O，如圖②，△PDC又是什么三角形？為什么？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知利用SAS判定△APC≌△BDC，從而得到PC=DC，因?yàn)锳P過圓心O，AB=AC，∠BAC=60°，
所以∠BAP=∠PAC=

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∠BAC=30°，又知∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60°，從而推出△PDC為等邊三角形；
（2）同理可證△PDC為等邊三角形．

解答：解：（1）如圖①，△PDC為等邊三角形．
（2分）
理由如下：
∵△ABC為等邊三角形
∴AC=BC
∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC
又∵AP=BD
∴△APC≌△BDC
∴PC=DC
∵AP過圓心O，AB=AC，∠BAC=60°
∴∠BAP=∠PAC=

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∠BAC=30°
∴∠PBC=∠PAC=30°，∠BCP=∠BAP=30°
∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60°
∴△PDC為等邊三角形；（6分）

（2）如圖②，△PDC仍為等邊三角形．（8分）
理由如下：
∵△ABC為等邊三角形
∴AC=BC
∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC
又∵AP=BD
∴△APC≌△BDC
∴PC=DC
∵∠BAP=∠BCP，∠PBC=∠PAC
∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=∠PAC+∠BAP=60°
∴△PDC為等邊三角形．（12分）

點(diǎn)評：此題主要考查學(xué)生對學(xué)生以圓周角定理及等邊三角形的判定方法的理解及運(yùn)用．