【題目】如圖,等邊的邊長為,點、分別是邊、上的動點,點、分別從頂點、同時出發(fā),且它們的速度都為.
(1)如圖1,連接,求經(jīng)過多少秒后,是直角三角形;
(2)如圖2,連接、交于點,在點、運動的過程中,的大小是否變化?若變化,請說明理由;若不變,請求出它的度數(shù).
(3)如圖3,若點、運動到終點后繼續(xù)在射線、上運動,直線、交于點,則的大小是否變化?若變化,請說明理由;若不變,請求出它的度數(shù).
【答案】(1)經(jīng)過秒或秒后,△PCQ是直角三角形;(2)的大小不變,是定值60°;(3)的大小不變,是定值120°.
【解析】
(1)分∠PQC=90°和∠QPC=90°兩種情形求解即可解決問題;
(2)證得△ABP≌△BCQ(SAS),推出∠BAP=∠CBQ,得(定值)即可;
(3)證得△ACP≌△BAQ(SAS),推出,得即可.
解:(1)設(shè)經(jīng)過t秒后,△PCQ是直角三角形.
由題意:,,
∵是等邊三角形,
∴,
當(dāng)∠PQC=90°時,∠QPC=30°,
∴PC=2CQ,
∴ ,
解得.
當(dāng)∠QPC=90°時,∠PQC=30°,
∴CQ=2PC,
∴,
解得,
綜上:經(jīng)過秒或秒后,△PCQ是直角三角形.
(2)結(jié)論:∠AMQ的大小不變.
∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=BC,,
∵點P,Q的速度相等,
∴BP=CQ,
在△ABP和△BCQ中
∴△ABP≌△BCQ(SAS)
∴
∴
(定值)
∴的大小不變,是定值60°.
(3)結(jié)論:∠AMQ的大小不變.
∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=BC,,
∴,
∵點P,Q的速度相等,
∴,
在△ACP和△BAQ中
∴△ACP≌△BAQ(SAS)
∴
∴
(定值)
∴的大小不變,是定值120°.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)問題:如圖在中,,,為邊上一點(不與點,重合),連接,過點作,并滿足,連接.則線段和線段的數(shù)量關(guān)系是_______,位置關(guān)系是_______.
(2)探索:如圖,當(dāng)點為邊上一點(不與點,重合),與均為等腰直角三角形,,,.試探索線段,,之間滿足的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)拓展:如圖,在四邊形中,,若,,請直接寫出線段的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某水果基地計劃裝運甲、乙、丙三種水果到外地銷售(每輛汽車規(guī)定滿載,并且只裝一種水果).如表為裝運甲、乙、丙三種水果的重量及利潤.
甲 | 乙 | 丙 | |
每輛汽車能裝的數(shù)量(噸) | 4 | 2 | 3 |
每噸水果可獲利潤(千元) | 5 | 7 | 4 |
(1)用8輛汽車裝運乙、丙兩種水果共22噸到A地銷售,問裝運乙、丙兩種水果的汽車各多少輛?
(2)水果基地計劃用20輛汽車裝運甲、乙、丙三種水果共72噸到B地銷售(每種水果不少于一車),假設(shè)裝運甲水果的汽車為m輛,則裝運乙、丙兩種水果的汽車各多少輛?(結(jié)果用m表示)
(3)在(2)問的基礎(chǔ)上,如何安排裝運可使水果基地獲得最大利潤?最大利潤是多少?
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【題目】“圓材埋壁”是我國著名的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個問題,“今有圓材,埋于壁中,不知大小,以鋸鋸之,深一寸,鋸道長一尺,問徑幾何?” 用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語言表達是:“如圖,CD是⊙O的直徑,弦AB⊥CD,垂足為E,CE = 1寸,AB = 1尺,求直徑的長”. 依題意,CD長為( )
A. 寸 B. 13寸 C. 25寸 D. 26寸
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料:
問題:如圖(a)所示,已知點為等邊內(nèi)一點,且,試探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系.
明明同學(xué)的想法是:問題中的線段比較分散,可以通過旋轉(zhuǎn)變換將分散的線段集中在一起,從而解決問題.于是他將繞點順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到了,然后連接.
請你參考明明同學(xué)的思路,解決下列問題:
(1)圖(b)中的、、之間的數(shù)量關(guān)系為______.
(2)如圖(c)所示,點在等邊的外部(在直線左側(cè)),滿足,(1)中的結(jié)論仍成立嗎?說明你的理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在等邊中,點在邊上,點在的延長線上,(如圖1)
(1)求證:;
(2)點關(guān)于直線的對稱點為,連接,.
①依題意將圖2補全;
②證明:在點運動的過程中,始終有.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,把直角三角形紙片沿過頂點B的直線(BE交CA于E)折疊,直角頂點C落在斜邊AB上,如果折疊后得等腰△EBA,那么結(jié)論中:①∠A=30°;②點C與AB的中點重合;③點E到AB的距離等于CE的長,正確的個數(shù)是( 。
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,DM垂直平分AC,交BC于點D,連接AD,若∠C=28°,AB=BD,則∠B的度數(shù)為_____度.
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