Question

【題目】如圖1，△ABC中，AB＝AC，過(guò)B點(diǎn)作射線BE，過(guò)C點(diǎn)作射線CF，使∠ABE＝∠ACF，且射線BE，CF交于點(diǎn)D，過(guò)A點(diǎn)作AM⊥BD于M．

（1）探究∠BDC和∠CAB的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；

（2）求證：BM＝DM+DC；

（3）如圖2，將射線BE，CF分別繞點(diǎn)B和點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至如圖位置，若∠ABE＝∠ACF仍然成立，射線BE交射線CF的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，過(guò)A點(diǎn)作AM⊥BD于M．請(qǐng)問(wèn)（2）中的結(jié)論是否還成立？如果成立，請(qǐng)證明．如果不成立，線段BM，DM，DC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）∠BDC＝∠CAB，見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）不成立，BM＝DM﹣DC，見(jiàn)解析

【解析】

（1）由三角形內(nèi)角和定理得出，，又∠ABE＝∠ACF，則進(jìn)行計(jì)算即可得解；

（2）作AN⊥CF于N，連接AD，易證，由AAS證得△AMB≌△ANC得出BM＝CN＝DC+DN，AM＝AN，由HL證得Rt△AMD≌Rt△AND得出DM＝DN，即可得出結(jié)論；

（3）作AN⊥CF于N，連接AD，易證，由AAS證得△AMB≌△ANC得出，AM＝AN，由HL證得Rt△AMD≌Rt△AND得出DM＝DN，即可得出結(jié)論．

（1）解：∠BDC＝∠CAB；理由如下：

∵，

，

∠ABE＝∠ACF，

∴

＝

＝

∴；

（2）證明：作AN⊥CF于N，連接AD，如圖1所示：

∵AM⊥BD，

∴，

在△AMB和△ANC中，

，

∴△AMB≌△ANC，

∴BM＝CN＝DC+DN，AM＝AN，

在Rt△AMD和Rt△AND中，

，

∴Rt△AMD≌Rt△AND，

∴DM＝DN，

∴BM＝DM+DC；

（3）不成立，BM＝DM﹣DC；理由如下：

作AN⊥CF于N，連接AD，如圖2所示：

∵AM⊥BD，

∴，

在△AMB和△ANC中，

，

∴△AMB≌△ANC，

∴，AM＝AN，

在Rt△AMD與Rt△AND中，

，

∴Rt△AMD≌Rt△AND，

∴DM＝DN，

∴．