【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,AH⊥BC,垂足為H,D為直線BC上一動點(不與點B、C重合),在AD的右側(cè)作△ADE,使得AE=AD,∠DAE=∠BAC,連接CE.
(1)求證:∠ABC=∠ACB;
(2)當(dāng)D在線段BC上時,
①求證:△BAD≌△CAE;②當(dāng)點D運動到何處時,AC⊥DE,并說明理由;
(3)當(dāng)CE∥AB時,若△ABD中最小角為20°,試探究∠ADB的度數(shù).(直接寫出結(jié)果,無需寫出求解過程)
【答案】(1)見解析;(2)①見解析;②D運動到BC中點(H點)時,AC⊥DE,理由見解析;(3)20°或40°或100°
【解析】
(1)證明Rt△AHB≌Rt△AHC(HL),即可解決問題.
(2)①根據(jù)SAS即可證明;②D運動到BC中點(H點)時,AC⊥DE;利用等腰三角形的三線合一即可證明;
(3)分三種情形分別求解即可解決問題;
解:(1)∵AB=AC,AH⊥BC,
∴∠AHB=∠AHC=90°,
在Rt△AHB和Rt△ACH中,
∴Rt△AHB≌Rt△AHC(HL),
∴∠ABC=∠ACB.
(2)①如圖1中,
∵∠DAE=∠BAC,
∴∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,
∴△BAD≌△CAE.
②D運動到BC中點(H點)時,AC⊥DE;
理由:如圖2中,∵AB=AC,AH⊥BC,
∴∠BAH=∠CAH,
∵∠BAH=∠CAE,
∴∠CAH=∠CAE,
∵AH=AE,
∴AC⊥DE.
(3)∠ADB的度數(shù)為20°或40°或100°.
理由:①如圖3中,當(dāng)點D在CB的延長線上時,
∵CE∥AB,
∴∠BAE=∠AEC,∠BCE=∠ABC,
∵△DAB≌△EAC,
∴∠ADB=∠AEC,∠ABD=∠ACE,
∴∠BAC=∠BAE+EAC=∠AEC+∠EAC=180°-∠ACE=180°-∠ABD=∠ABC=∠ACB,
∴△ABC是等邊三角形,
∴∠ABC=60°
∵△ABD中的最小角是∠BAD=20°,則∠ADB=∠ABC-∠BAD=40°.
②當(dāng)點D在線段BC上時,最小角只能是∠DAB=20°,此時∠ADB=180°-20°-60°=100°.
③當(dāng)點D在BC 延長線上時,最小角只能是∠ADB=20°,
綜上所述,滿足條件的∠ABD的值為20°或40°或100°.
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【題目】雅美服裝廠有A種布料70m,B種布料52米.現(xiàn)計劃用這兩種布料生產(chǎn)M、N兩種型號的時裝共80套,已知做一套M型號的時裝共需A種布料0.6m,B種布料0.9m;做一套N型號的時裝需要A種布料1.1m,B種布料0.4m.
(1)設(shè)生產(chǎn)x套M型號的時裝,寫出x應(yīng)滿足的不等式組;
(2)有哪幾種符合題意的生產(chǎn)方案?請你幫助設(shè)計出來.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,以AC為直徑作⊙O交BC于點D,過點D作⊙O的切線交AB于點E,交AC的延長線于點F.
(1)求證:DE⊥AB;
(2)若tan∠BDE=, CF=3,求DF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù)的圖象拋物線與軸相交于不同的兩點,,且,
(1)若拋物線的對稱軸為求的值;
(2)若,求的取值范圍;
(3)若該拋物線與軸相交于點D,連接BD,且∠OBD=60°,拋物線的對稱軸與軸相交點E,點F是直線上的一點,點F的縱坐標(biāo)為,連接AF,滿足∠ADB=∠AFE,求該二次函數(shù)的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個不透明的布袋里裝有4個大小、質(zhì)地均相同的乒乓球,每個球上面分別標(biāo)有1,2,3,4.小林先從布袋中隨機抽取一個乒乓球(不放回去),再從剩下的3個球中隨機抽取第二個乒乓球.
(1)請你用樹狀圖或列表法列出所有可能的結(jié)果;
(2)求兩次取得乒乓球的數(shù)字之積為奇數(shù)的概率.
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【題目】如圖,下列4個三角形中,均有AB=AC,則經(jīng)過三角形的一個頂點的一條直線能夠?qū)⑦@個三角形分成兩個小等腰三角形的是( 。
A. ①③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
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【題目】如圖,已知A、B、C、D是正方形網(wǎng)格紙上的四個格點,根據(jù)要求在網(wǎng)格中畫圖并標(biāo)注相關(guān)字母.
①畫線段AB;
②畫射線CA、直線AD;
③過點B畫AD的平行線BE;
④過點D畫AC的垂線,垂足為F.
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【題目】(1)敘述并證明三角形內(nèi)角和定理(證明用圖 1);
(2)如圖 2 是七角星形,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G 的度數(shù).
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【題目】如圖1,△ABC中,AB=AC,過B點作射線BE,過C點作射線CF,使∠ABE=∠ACF,且射線BE,CF交于點D,過A點作AM⊥BD于M.
(1)探究∠BDC和∠CAB的數(shù)量關(guān)系并說明理由;
(2)求證:BM=DM+DC;
(3)如圖2,將射線BE,CF分別繞點B和點C順時針旋轉(zhuǎn)至如圖位置,若∠ABE=∠ACF仍然成立,射線BE交射線CF的反向延長線于點D,過A點作AM⊥BD于M.請問(2)中的結(jié)論是否還成立?如果成立,請證明.如果不成立,線段BM,DM,DC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論.
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