Question

【題目】如圖，△ABC是⊙O內(nèi)接正三角形，將△ABC繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)30°得到△DEF，DE分別交AB，AC于點(diǎn)M，N，DF交AC于點(diǎn)Q，則有以下結(jié)論：①∠DQN=30°；②△DNQ≌△ANM；③△DNQ的周長等于AC的長；④NQ=QC．其中正確的結(jié)論是　 　．（把所有正確的結(jié)論的序號都填上）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

試題如圖，連接OA、OD、OF、OC、DC、AD、CF，

∵△ABC繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)30°得到△DEF，

∴∠AOD=∠COF=30°。

∴∠ACD=∠AOD=15°，∠FDC=∠COF=15°。

∴∠DQN=∠QCD+∠QDC=15°+15°=30°。所以①正確。

同理可得∠AMN=30°。

∵△DEF為等邊三角形，∴DE=DF。∴弧DE=弧DF。∴弧AE+弧AD=弧DC+弧CF。

∵弧AD=弧CF，∴弧AE=弧DC。∴∠ADE=∠DAC。∴ND=NA。

在△DNQ和△ANM中，∵∠DQN=∠AMN，∠DNQ=∠ANM，DN=AN。

∴△DNQ≌△ANM（AAS）。所以②正確。

∵∠ACD=15°，∠FDC=15°，∴QD=QC。

∵ND=NA，∴ND+QD+NQ=NA+QC+NQ=AC，即△DNQ的周長等于AC的長。所以③正確。

∵△DEF為等邊三角形，∴∠NDQ=60°。

∵∠DQN=30°，∴∠DNQ=90°。∴QD＞NQ。

∵QD=QC，∴QC＞NQ。所以④錯誤。

綜上所述，正確的結(jié)論是①②③。