Question

【題目】如圖，已知中，cm，cm，cm．點(diǎn)由出發(fā)，以5cm/s的速度沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)由出發(fā)，以4cm/s的速度沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)．連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（單位：，）．

（1）求點(diǎn)到的距離（用含代數(shù)式表示）；

（2）求為何值時(shí)，線段將的面積分成的兩部分的面積比為3∶13；

（3）當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的值．

Answer 1

【答案】（1） （2）1或3 （3）2或

【解析】

（1）先判斷出△ABC是直角三角形，進(jìn)而求出∠A的正弦值，再表示出AP，即可得出結(jié)論；

（2）先求出△ABC的面積，進(jìn)而得出△APQ=78或18建立方程求解即可；

（3）分兩種情況，利用相似三角形得出比例式建立方程求解即可得出結(jié)論．

（1）在△ABC中，AB=20cm，AC=16cm，BC=12cm，

∴AC2+BC2=162+122=400=202=AB2，

∴△ABC是直角三角形，

∴sinA=，

由運(yùn)動(dòng)知，BP=5t，

∴AP=20-5t，

過點(diǎn)P作PD⊥AC于D，

在Rt△APD中，sinA=，

∴DP=3（4-t），

∴點(diǎn)P到AC的距離為3（4-t）；

（2）由運(yùn)動(dòng)知AQ=4t，

由（1）知，DP=3（4-t），

∴S△APQ=AQDP=6t（4-t），

∵AC=16，BC=12，

∴S△ABC=ACBC=96，

∵線段PQ將△ABC的面積分成的兩部分的面積之比為3：13，

∴S△APQ=S△ABC=18或S△APQ=S△ABC=78，

∴6t（4-t）=18或6t（4-t）=78，

當(dāng)6t（4-t）=18時(shí)，t=1秒或3秒

當(dāng)6t（4-t）=78時(shí)，此方程無實(shí)數(shù)根，

即：t=1秒或3秒時(shí)，線段PQ將△ABC的面積分成的兩部分的面積之比為3：13；

（3）當(dāng)△APQ為直角三角形時(shí)，

①∠APQ=90°=∠ACB，

∵∠A=∠A，

∴△APQ∽△ACB，

∴，

∴，

∴t=秒，

②當(dāng)∠AQP=90°=∠ACB，

∵∠A=∠A，

∴△AQP∽△ACB，

∴，

∴，

∴t=2秒，

即：當(dāng)△APQ為直角三角形時(shí)，t=2秒或秒．