【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為4,點E,F分別在邊AB,AD上,且∠ECF=45°,CF的延長線交BA的延長線于點G,CE的延長線交DA的延長線于點H,連接AC,EF.,GH.
(1)填空:∠AHC ∠ACG;(填“>”或“<”或“=”)
(2)線段AC,AG,AH什么關(guān)系?請說明理由;
(3)設(shè)AE=m,
①△AGH的面積S有變化嗎?如果變化.請求出S與m的函數(shù)關(guān)系式;如果不變化,請求出定值.
②請直接寫出使△CGH是等腰三角形的m值.
【答案】(1)=;(2)結(jié)論:AC2=AGAH.理由見解析;(3)①△AGH的面積不變.②m的值為或3或12﹣6..
【解析】
(1)證明∠DAC=∠AHC+∠ACH=45°,∠ACH+∠ACG=45°,即可推出∠AHC=∠ACG;
(2)結(jié)論:AC2=AGAH.只要證明△AHC∽△ACG即可解決問題;
(3)①△AGH的面積不變.理由三角形的面積公式計算即可;
②分三種情形分別求解即可解決問題.
(1)∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=CB=CD=DA=4,∠D=∠DAB=90°∠DAC=∠BAC=45°,
∴AC=,
∵∠DAC=∠AHC+∠ACH=45°,∠ACH+∠ACG=45°,
∴∠AHC=∠ACG.
故答案為=.
(2)結(jié)論:AC2=AGAH.
理由:∵∠AHC=∠ACG,∠CAH=∠CAG=135°,
∴△AHC∽△ACG,
∴,
∴AC2=AGAH.
(3)①△AGH的面積不變.
理由:∵S△AGH=AHAG=AC2=×(4)2=16.
∴△AGH的面積為16.
②如圖1中,當(dāng)GC=GH時,易證△AHG≌△BGC,
可得AG=BC=4,AH=BG=8,
∵BC∥AH,
∴,
∴AE=AB=.
如圖2中,當(dāng)CH=HG時,
易證AH=BC=4,
∵BC∥AH,
∴=1,
∴AE=BE=3.
如圖3中,當(dāng)CG=CH時,易證∠ECB=∠DCF=22.5.
在BC上取一點M,使得BM=BE,
∴∠BME=∠BEM=45°,
∵∠BME=∠MCE+∠MEC,
∴∠MCE=∠MEC=22.5°,
∴CM=EM,設(shè)BM=BE=m,則CM=EMm,
∴m+m=6,
∴m=6(﹣1),
∴AE=6﹣6(﹣1)=12﹣6,
綜上所述,滿足條件的m的值為或3或12﹣6.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=6,BC=4,過對角線BD中點O的直線分別交AB,CD邊于點E,F(xiàn).
(1)求證:四邊形BEDF是平行四邊形;
(2)當(dāng)四邊形BEDF是菱形時,求EF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,OA=4,OC=8,四邊形ABCO是平行四邊形.
(1)求點B的坐標(biāo)及四邊形ABCO的面積;
(2)若點P從點C以2單位長度/秒的速度沿CO方向移動,同時點Q從點O以1單位長度/秒的速度沿OA方向移動,設(shè)移動的時間為t秒,△AQB與△BPC的面積分別記為,,四邊形QBPO的面積是否發(fā)生變化,若不變,求出并證明你的結(jié)論,若變化,求出變化的范圍.
(3)在(2)的條件下,是否存在某個時同,使,若存在,求出t的值,若不存在,試說明理由;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一個不透明的布口袋里裝有白、紅、黑三種顏色的小球,它們除了顏色之外沒有其它區(qū)別,其中白球2只、紅球1只、黑球1只. 袋中的球已經(jīng)攪勻.
(1)隨機(jī)地從袋中摸出1只球,則摸出白球的概率是多少?
(2)隨機(jī)地從袋中摸出1只球,放回攪勻再摸出第二個球.請你用畫樹狀圖或列表的方法表示所有等可能的結(jié)果,并求兩次都摸出白球的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB∥DC,E是AD中點,EF⊥BC于點F,BC=5,EF=3.
(1)若AB=DC,則四邊形ABCD的面積S=__;
(2)若AB>DC,則此時四邊形ABCD的面積S′__S(用“>”或“=”或“<”填空).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,E,F(xiàn),G,H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點.若四邊形EFGH為菱形,則對角線AC、BD應(yīng)滿足條件__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】探究題:
(1)如圖1,若AB∥CD,則∠B+∠D=∠E,你能說明理由嗎?
(2)反之,若∠B+∠D=∠E,直線AB與直線CD有什么位置關(guān)系?簡要說明理由;
(3)若將點E移至圖2的位置,此時∠B、∠D、∠E之間有什么關(guān)系?直接寫出結(jié)論;
(4)若將點E移至圖3的位置,此時∠B、∠D、∠E之間有什么關(guān)系?直接寫出結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(知識生成)我們已經(jīng)知道,通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式.例如圖1可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2,基于此,請解答下列問題:
(1)根據(jù)圖2,寫出一個代數(shù)恒等式: .
(2)利用(1)中得到的結(jié)論,解決下面的問題:若a+b+c=10,ab+ac+bc=35,則a2+b2+c2= .
(3)小明同學(xué)用圖3中x張邊長為a的正方形,y張邊長為b的正方形,z張寬、長分別為a、b的長方形紙片拼出一個面積為(2a+b)(a+2b)長方形,則x+y+z= .
(知識遷移)(4)事實上,通過計算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式,圖4表示的是一個邊長為x的正方體挖去一個小長方體后重新拼成一個新長方體,請你根據(jù)圖4中圖形的變化關(guān)系,寫出一個代數(shù)恒等式: .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,E、F、G、H依次是各邊中點,O是形內(nèi)一點,若四邊形AEOH、四邊形BFOE、四邊形CGOF的面積分別為6、7、8,四邊形DHOG面積為______.
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