Question

【題目】閱讀材料：若關(guān)于x的一元二次方程的根均為整數(shù)，稱該方程為“快樂方程”. 我們發(fā)現(xiàn)任何一個“快樂方程”的判別式一定為完全平方數(shù). 規(guī)定為該“快樂方程”的“快樂數(shù)”. 若有另一個“快樂方程”的“快樂數(shù)”為且滿足，則稱互為“樂呵數(shù)”. 例如：“快樂方程”的兩根均為整數(shù)，其判別式，其“快樂數(shù)”

（1）“快樂方程”的“快樂數(shù)”為 ，若關(guān)于x的一元二次方程（m為整數(shù)，且5＜m＜22）是“快樂方程”，求其“快樂數(shù)”；

（2）若關(guān)于x的一元二次方程與（m、n均為整數(shù)）都是“快樂方程”，且其“快樂數(shù)”互為“樂呵數(shù)”，求n的值.

Answer 1

【答案】（1）-1 （2）0或1或4

【解析】

（1）根據(jù)“快樂數(shù)”的定義即可求出“快樂方程”的“快樂數(shù)”，

，根據(jù)“快樂方程”的定義，得到為完全平方數(shù)，根據(jù)5＜m＜22，得到49＜4m+29＜117，即可求出4m+29=64或81或100，根據(jù)m為整數(shù)，即可求出m的值，即可求其“快樂數(shù)”；

（2）關(guān)于x的一元二次方程是“快樂方程”，即可求出的值，

求出方程的“快樂數(shù)”，根據(jù)“樂呵數(shù)”的定義即可求出n的值.

解：（1）

由題得

∵已知方程為“快樂方程”

∴為完全平方數(shù)

又∵5＜m＜22 則49＜4m+29＜117

∴ 4m+29=64或81或100

∵m為整數(shù)

∴m=13

∴原方程為，其根為，，符合題意.

其“快樂數(shù)”為：

（2）由題得方程的

∵方程是“快樂方程”

∴完全平方數(shù).

設(shè)（k為整數(shù)），則

又與同奇偶，且m、k為整數(shù)，則

span>或或或

解得：或

∴方程為或，其根均為整數(shù)，

它們的“快樂數(shù)”都為 .

由題得方程可變形為，解得，，

∵n 為整數(shù)，

∴方程為“快樂方程”，其“快樂數(shù)”為

又由題方程、的“快樂數(shù)”互為“樂呵數(shù)”，可得

（i）當時，， 解得，，

（ii）當時，， 解得，

綜上所述，n的值為0或1或4.