Question

【題目】閱讀下列材料并完成任務(wù)：

“最短路徑問(wèn)題”是數(shù)學(xué)中一類具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題.其實(shí)，數(shù)學(xué)史上也有不少相關(guān)的故事，如下即為其中較為經(jīng)典的一則：古希臘有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫.他精通數(shù)學(xué)、物理，聰慧過(guò)人.有一天，一位將軍向他請(qǐng)教一個(gè)問(wèn)題：如圖1，將軍從甲地騎馬出發(fā)，要到河邊讓馬飲水，然后再回到乙地的馬棚，為使馬走的路程最短，應(yīng)該讓馬在什么地方飲水？

海倫認(rèn)為以河邊為鏡面，畫(huà)出甲地的鏡像點(diǎn)（垂直河邊的等距離點(diǎn)），然后連接乙地和甲地的鏡像點(diǎn)，會(huì)跟河邊相交一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是馬飲水的地方，馬走的路程最短（兩點(diǎn)之間直線距離最短）.

任務(wù)：

（1）請(qǐng)你幫海倫在圖1的位置完成作圖，并標(biāo)出馬飲水的地點(diǎn)（畫(huà)出草圖即可）；

（2）如圖2，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，.請(qǐng)你在軸上找一點(diǎn)，使得最小，并直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)（保留作圖痕跡）；

應(yīng)用：

（3）如圖3，圓柱形容器高為，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿處的點(diǎn)處，點(diǎn)與的水平距離等于底面直徑，求螞蟻從外壁處到達(dá)內(nèi)壁處的最短距離.

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）圖詳見(jiàn)解析，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）螞蟻從外壁處到達(dá)內(nèi)壁處的最短距離為.

【解析】

（1）根據(jù)在河邊上的同側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點(diǎn)存在，可以通過(guò)軸對(duì)稱來(lái)確定，即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與河邊線的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)．

（2）找出C的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接BC′，與x軸交點(diǎn)即為Q；

（3）將杯子側(cè)面展開(kāi)，建立A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A′B的長(zhǎng)度即為所求．

解：（1）如答圖1即為所作圖形.

（2）如答圖2，點(diǎn)即為所求.

點(diǎn)的坐標(biāo)為

（3）如答圖3是杯子的側(cè)面的部分展開(kāi)圖，

設(shè)點(diǎn)為杯子側(cè)面展開(kāi)圖上邊沿的中點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于上邊沿的對(duì)稱點(diǎn)，

連接，則即為最短距離，

設(shè)與展開(kāi)圖的上邊緣交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，且與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，

則，

.

在中，

.

∴螞蟻從外壁處到達(dá)內(nèi)壁處的最短距離為.