Question

【題目】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于點(diǎn)D，BE⊥MN于點(diǎn)E．

（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；

（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系，并加以證明；

（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？（請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系，不需要證明）．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）DE＝AD﹣BE，證明見(jiàn)解析；（3）DE＝BE﹣AD．

【解析】

（1）由∠ACB＝90°，得∠ACD+∠BCE＝90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，則∠ADC＝∠CEB＝90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠ACD＝∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD＝CE，DC＝BE，即可得到DE＝DC+CE＝BE+AD．

（2）根據(jù)等角的余角相等得到∠ACD＝∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，DC＝BE，所以DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE．

（3）DE、AD、BE具有的等量關(guān)系為：DE＝BE﹣AD．證明的方法與（2）相同．

（1）證明：∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD+∠BCE＝90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，

∴∠ACD＝∠CBE，

在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴AD＝CE，DC＝BE，

∴DE＝DC+CE＝BE+AD；

（2）DE＝AD﹣BE，

在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴AD＝CE，DC＝BE，

∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；

（3）結(jié)論：DE＝BE﹣AD．

同法可得△ADC≌△CEB（AAS），

∴AD＝CE，DC＝BE，

∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．