Question

如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCO的頂點A、C分別在y軸、x軸上，以AB為弦的⊙M與x軸相切．若點A的坐標為（0，8），則圓心M的坐標為（ ）

A．（-4，5）
B．（-5，4）
C．（5，-4）
D．（4，-5）

Answer 1

【答案】分析：過點M作MD⊥AB于D，連接AM．設⊙M的半徑為R，因為四邊形OABC為正方形，頂點A，C在坐標軸上，以邊AB為弦的⊙M與x軸相切，若點A的坐標為（0，8），所以DA=AB=4，DM=8-R，AM=R，又因△ADM是直角三角形，利用勾股定理即可得到關于R的方程，解之即可．
解答：解：過點M作MD⊥AB于D，交OC于點E．連接AM，設⊙M的半徑為R．
∵以邊AB為弦的⊙M與x軸相切，AB∥OC，
∴DE⊥CO，
∴DE是⊙M直徑的一部分；
∵四邊形OABC為正方形，頂點A，C在坐標軸上，點A的坐標為（0，8），
∴OA=AB=CB=OC=8，DM=8-R；
∴AD=BD=4（垂徑定理）；
在Rt△ADM中，
根據勾股定理可得AM²=DM²+AD²，
∴R²=（8-R）²+4²，∴R=5．
∴M（-4，5）．
故選A．
點評：本題考查了垂徑定理、坐標與圖形性質、勾股定理及正方形的性質．解題時，需仔細分析題意及圖形，利用勾股定理來解決問題．