已知以x為自變量的二次函數(shù)y=x2+2mx+m-7.
(1)求證:不論m為任何實(shí)數(shù),二次函數(shù)的圖象與x軸都有兩個(gè)交點(diǎn);
(2)若二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)(1,0)的兩側(cè),關(guān)于x的一元二次方程m2x2+(2m+3)x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且m為整數(shù),求m的值;
(3)在(2)的條件下,關(guān)于x的另一方程x2+2(a+m)x+2a-m2+6 m-4=0有大于0且小于5的實(shí)數(shù)根,求a的整數(shù)值.
分析:(1)首先令y=0,然后求出△>0,就求出方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)依題意得出當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)值小于0,那么m<2;由拋物線有兩個(gè)實(shí)數(shù)根求出△≥0,聯(lián)立求出m值;
(3)由求根公式求出x的值,然后求出a的取值范圍.
解答:(1)證明:令x
2+2mx+m-7=0.
得△=(2m)
2-4(m-7)=
4(m-)2+27.
∵不論m為任何實(shí)數(shù),都有
4(m-)2+27>0,即△>0.
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
∴不論m為任何實(shí)數(shù),二次函數(shù)的圖象與x軸都有兩個(gè)交點(diǎn);(2分)
(2)解:∵二次函數(shù)圖象的開口向上,且與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)(1,0)的兩側(cè),
∴當(dāng)x=1時(shí),y=1
2+2m+m-7<0.
解得m<2.①(3分)
∵關(guān)于x的一元二次方程m
2x
2+(2m+3)x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,
∴△=(2m+3)
2-4m
2≥0,且m
2≠0.
解得m≥
-,且m≠0.②(4分)
∵m為整數(shù),由①,②可得m的值是1;(5分)
(3)解:當(dāng)m=1時(shí),方程x
2+2(a+m)x+2a-m
2+6m-4=0為x
2+2(a+1)x+2a+1=0.
由求根公式,得
x=.
∴x=-2a-1或x=-1.(6分)
∵方程有大于0且小于5的實(shí)數(shù)根,
∴0<-2a-1<5.
∴-3<a<
-.
∴a的整數(shù)值為-2,-1.(7分)
點(diǎn)評(píng):考查二次函數(shù)的圖象與x軸都有兩個(gè)交點(diǎn),b2-4ac>0;關(guān)于x的一元二次方程就有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,b2-4ac≥0.