Question

在等邊三角形ABC中，AD⊥BC于點D．

（1）如圖1，請你直接寫出線段AD與BC之間的數(shù)量關(guān)系: AD= BC��；

（2）如圖2，若P是線段BC上一個動點（點P不與點B、C重合），聯(lián)結(jié)AP，將線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，聯(lián)結(jié)CE，猜想線段AD、CE、PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）如圖3，若點P是線段BC延長線上一個動點，（2）中的其他條件不變，按照（2）中的作法，請在圖3中補全圖形，并直接寫出線段AD、CE、PC之間的數(shù)量關(guān)系．

 

 

Answer 1

（1）；（2）AD=，理由見解析；（3）補圖見解析，AD=．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得∠B=600，AB=BC，所以根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和特殊角的三角函數(shù)值求得AD=．

（2）根據(jù)等邊三角形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明△ABP≌△ACE即可求得結(jié)論．

（3）類同（2）的證明．

試題解析：（1）∵等邊三角形ABC，∴∠B=600，AB=BC．

又∵AD⊥BC，∴．

（2）AD=．理由如下：

∵線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，∴∠PAE=60°，AP=AE．

∵等邊三角形ABC，∴∠BAC=60°，AB=AC．

∴∠BAC﹣∠PAC=∠PAE﹣∠PAC．∴∠BAP=∠CAE．

在△ABP和△ACE中，∵，

∴△ABP≌△ACE．∴BP=CE．

∵BP+PC=BC，∴CE+ PC=BC．

∵AD=BC，∴AD=．

（3）補全圖形如圖：

∵線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，∴∠PAE=60°，AP=AE．

∵等邊三角形ABC，∴∠BAC=60°，AB=AC．

∴∠BAC+∠PAC=∠PAE+∠PAC．∴∠BAP=∠CAE．

在△ABP和△ACE中，∵，

∴△ABP≌△ACE．∴BP=CE．

∵，∴．

∵AD=BC，∴AD=．

考點：1．線動旋轉(zhuǎn)問題；2．等邊三角形的性質(zhì)；3．全等三角形的判定和性質(zhì)；4．銳角三角函數(shù)定義；5．特殊角的三角函數(shù)值．