【題目】矩形ABCD的邊AB=4,邊AD上有一點(diǎn)M,連接BM,將MB繞M點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°得MN,N恰好落在CD上,過M、D、N作⊙O,⊙O與BC相切,Q為⊙O上的動點(diǎn),連BQ,P為BQ中點(diǎn),連AP,則AP的最小值為_____.
【答案】.
【解析】
設(shè)⊙O與BC的交點(diǎn)為F,連接OB、OF,如圖1所示.根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到MN⊥BM,推出△BMN為等腰直角三角形,由全等三角形的性質(zhì)得到DM=AB=4,DN=AM,設(shè)DN=2a,則AM=2a,OF=4-a,根據(jù)勾股定理即可求得⊙O半徑,延長BA,使AH=AB=4,連接HQ,OH,過O作OG⊥AB于G,根據(jù)三角形中位線的定理得到AP=HQ,HQ∥AP,當(dāng)HQ取最小值時,AP有最小值,當(dāng)點(diǎn)Q在HO時,HQ的值最小,根據(jù)勾股定理可求得OH,于是可得到結(jié)論.
設(shè)⊙O與BC的交點(diǎn)為F,連接OB、OF,作OR⊥DC于R,如圖所示.
∵△MDN為直角三角形,
∴MN為⊙O的直徑,
∵將MB繞M點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°得MN,
∴MN⊥BM,MB=MN,
∴△BMN為等腰直角三角形,
∵∠AMB+∠NMD=180°﹣∠BMN=90°,∠MBA+∠AMB=90°,
∴∠NMD=∠MBA,且BM=NP,∠A=∠NMD=90°,
∴△ABM≌△DMN(AAS),
∴DM=AB=4,DN=AM,
設(shè)DN=2a,則AM=2a,OF=4﹣a,
∵OR⊥DC于R,
∴DR=RN=,
∵OR⊥DC,OF⊥BC,∠C=90°,
∴四邊形ORCF為矩形,
∴,
BM=,
∵BM=MN=2OF,
∴=,
解得:,
∴,=,
∴⊙O半徑為,
如圖2,延長BA,使AH=AB=4,連接HQ,OH,過O作OG⊥AB于G,
∵AB=AH,BP=PQ,
∴AP=HQ,HQ∥AP,
∴當(dāng)HQ取最小值時,AP有最小值,
∴當(dāng)點(diǎn)Q在HO時,HQ的值最小,
∵,,
∴,
∴HQ的最小值=,
∴AP的最小值為,
故答案為:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線交軸于點(diǎn),點(diǎn)為軸上的一個動點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)重合),在直線上取一點(diǎn)(點(diǎn)在軸上方),使,連結(jié),以為邊在的右側(cè)作正方形,連結(jié),以為直徑作.
(1)當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時,若點(diǎn)落在軸上,則的長為______,點(diǎn)的坐標(biāo)為_______;
(2)若與正方形的邊相切于點(diǎn),求點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)與直線的交點(diǎn)為,連結(jié),當(dāng)平分時,的長為______.(直接寫出答案)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知銳角△ABC中,AB=AC,邊BC長為6,高AD長為4,正方形PQMN的兩個頂點(diǎn)在△ABC一邊上,另兩個頂點(diǎn)分別在△ABC的另兩邊上,則正方形PQMN的邊長為( )
A.B.或
C.或D.或
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)的圖象的對稱軸為直線.
(1)求的值;
(2)將函數(shù)的圖象向右平移2個單位,得到新的函數(shù)圖象.
①直接寫出函數(shù)圖象的表達(dá)式;
②設(shè)直線與軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,當(dāng)線段AB與圖象只有一個公共點(diǎn)時,直接寫出的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn)拋物線經(jīng)過點(diǎn)、.
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的解析式.
(2)為軸上一個動點(diǎn),過點(diǎn)垂直于軸的直線與直線和拋物線分別交于點(diǎn)、.
①點(diǎn)在線段上運(yùn)動,若以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似,求點(diǎn)的坐標(biāo);
②點(diǎn)在軸上自由運(yùn)動,若三個點(diǎn)、、中恰有一點(diǎn)是其他兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)(三點(diǎn)重合除外),則稱、、三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”.請直接寫出使得、、三點(diǎn)成為“共諧點(diǎn)”的的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校組織學(xué)生到恩格貝和康鎮(zhèn)進(jìn)行研學(xué)活動,澄澄老師在網(wǎng)上查得,和分別位于學(xué)校的正北和正東方向,位于南偏東37°方向,校車從出發(fā),沿正北方向前往地,行駛到15千米的處時,導(dǎo)航顯示,在處北偏東45°方向有一服務(wù)區(qū),且位于,兩地中點(diǎn)處.
(1)求,兩地之間的距離;
(2)校車從地勻速行駛1小時40分鐘到達(dá)地,若這段路程限速100千米/時,計算校車是否超速?
(參考數(shù)據(jù):,,)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D,切線DE交AC于點(diǎn)E.
(1)求證:∠A=∠ADE;
(2)若AD=8,DE=5,求BC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】第十一屆全國少數(shù)民族傳統(tǒng)體育運(yùn)動會于2019年9月8日至16日在鄭州舉行,據(jù)了解,該賽事每四年舉辦一屆,是我國規(guī)格最高、規(guī)模最大的綜合性民族體育盛會.其中,花炮、押加、民族式摔跤三個項(xiàng)目的比賽在鄭州大學(xué)主校區(qū)進(jìn)行.如圖,鐘樓是鄭州大學(xué)主校區(qū)標(biāo)志性建筑物之一,是鄭大的“第一高度”,寓意來自五湖四海的鄭大人的團(tuán)結(jié)和凝聚.小剛站在鐘樓前C處測得鐘樓頂A的仰角為53°,小強(qiáng)站在對面的教學(xué)樓三樓上的D處測得鐘樓頂A的仰角為30°,此時,兩人的水平距離EC為38m.已知教學(xué)樓三樓所在的高度為10m,根據(jù)測得的數(shù)據(jù),計算鐘樓AB的高度.(結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù):sin53°≈,cos53°≈,tan53°≈,≈1.73)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,并且關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,下列結(jié)論:①b2﹣4ac<0;②abc>0;③a﹣b+c<0;④m>﹣2,其中,正確的個數(shù)有( )
A.1B.2C.3D.4
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