Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，與相交于點(diǎn)，線段、的長(zhǎng)是一元二次方程的兩根，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

（1）若直線與反比例函數(shù)圖象上除點(diǎn)外的另一交點(diǎn)為，求的面積；若點(diǎn)在軸上，若點(diǎn)在軸上，求的最小值．．

（2）若點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是矩形且線段為矩形的一條邊？若存在，直接寫出符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）72；20

（2）答案見(jiàn)解析

【解析】

（1）先解一元二次方程，得出OA，OC，即可得出點(diǎn)A和點(diǎn)C坐標(biāo)，進(jìn)而求出OB得出B點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線AB解析式，即可求出點(diǎn)E坐標(biāo)，再求出點(diǎn)P坐標(biāo)，再用面積差求出的面積.

作點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，就是的最小值，求出即可.

（2）先確定直線CE解析式，、、、為頂點(diǎn)的四邊形是矩形作為已知條件，作滿足條件的輔助線，根據(jù)兩條直線垂直，它們的k值相乘等于-1，兩條直線平行k值相等且經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)，可求出直線解析式，再利用兩條直線相交，y值相等，列出關(guān)于x的等式，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即為所求.

（1）∵線段、的長(zhǎng)是一元二次方程的兩根

∴OC=6，OA=12，

∴=16

∴B(0，16)

設(shè)直線AB的解析式為

∴

∴直線AB的解析式為

∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，且在直線AB上

得E(3，12)

又∵點(diǎn)E在反比例函數(shù)

∴k=36

設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為m縱坐標(biāo)就為

∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)上

∴

∴（舍）或

∴P(9，4)

如圖作點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)

∵P(9，4)，E(3，12)

∴ (9，-4)，（-3，12）

連接交x軸于R，交y軸于S，此時(shí)最小

最小值=

(2)由（1）知

∴直線CE的解析式為

∵、、、為頂點(diǎn)的四邊形是矩形且線段為矩形的一條邊

過(guò)點(diǎn)E作垂直于CE交x軸于交y軸于M

已知（-3，12）

∴直線的解析式為

過(guò)點(diǎn)M作∥CE，過(guò)點(diǎn)C作

∴直線MN的解析式為

∵C(-6，0)

∴直線CN的解析式為

N點(diǎn)是直線MN和CN的交點(diǎn)設(shè)N（m，n）

m=-9，n=

N(-9， )

過(guò)點(diǎn)作交直線CN于

∴直線的解析式為聯(lián)合直線CN的解析式為

得

過(guò)作交于

∵直線CN的解析式為，

∴直線的解析式為

聯(lián)合直線的解析式為

∴

∴所以滿足條件的N點(diǎn)的坐標(biāo)為(-9， )，或