Question

【題目】在四邊形 ABCD 中，BD 平分∠ABC．

（1）如圖 1，若∠BAD=∠BDC，求證：BD2=ABBC；

（2）如圖 2，∠A>90°，∠BAD+∠BDC=180°，

①若∠ABC=90°，AB=，BC=8，求BD的長(zhǎng)；

②若 BC=3CD=3a，BD=9， 則 AB 的長(zhǎng)為 ． (用含 a 的代數(shù)式表示)．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①；②

【解析】

（1）先利用角平分線得出，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論；

（2）①先做輔助線，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)M，使BM=BC，先證明，之后再證明來求到DM，最后連接CM構(gòu)造等腰直角三角形求出BO和OD，即可得出結(jié)論；②同（2）的方法做輔助線，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)M，使BM=BC，再利用和即可得出結(jié)論．

解：（1）是∠ABC的平分線，

，

，

，

，

；

（2）①如圖，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)M，使BM=BC，

是∠ABC的平分線，

,

，

(SAS)，

則,BM=BC=8，DM=DC，

,

，

,

即,

解得：DM=DC=，

連接MC與BD交于點(diǎn)O，

∵∠MBC=90°，BC=BM=8，

∴為等腰直角三角形，

∵BO平分∠MBC，

∴BD⊥MC，BO=CO=MO=，

在直角中，

,

；

故答案為：；

②如圖，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)M，使BM=BC，

連接DM，

∵BC=3CD=3a，

，

同（2）①可證，，

，

,

即，

，

，

故答案為：．