Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，邊長為6的正三角形OAB的OA邊在x軸的正半軸上，BC是正三角形OAB的高．點P、Q同時從點O出發(fā)，點P以1 單位/s的速度沿O→B→A向點A勻速運動，點Q以1 單位/s的速度沿x軸的正半軸方向勻速運動．當(dāng)P點到達點A時Q也隨之停止運動．設(shè)運動時間為x秒（0＜x≤12）．
（1）求點B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點P、Q運動到直線PQ與邊OB垂直時，求點P運動的時間x的值；
（3）若△OPQ與△OBC重疊部分的面積為S（平方單位），求S與x的函數(shù)關(guān)系式；
（4）若6＜x＜12時，求點P、Q距離的最小值；并求出P、Q的距離最小時點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)△OAB是正三角形，BC是正△OAB的高，得出OC=CA=

1

2

OA=

1

2

×6=3，然后求出BC=tan60°×3=3

3

，即可得出點B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)直線PQ⊥OB時．∠QPB=90°，因為∠ABO=60°所以∠1=30°，∠2=30°，因為∠AOP=60°所以∠Q=90°-60°=30°，所以∠α=∠Q，AP=AQ，列方程得12-x=x-6，解出方程即可；
（3）當(dāng)0＜x＜3，可得出S=

1

2

x•x•sin60°=

3

4

x2，當(dāng)3≤x＜6時，根據(jù)S=S△OP2Q2-S△CEQ2可得出S與x的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)6≤x＜12時，根據(jù)S=S△OCF=

1

2

×3•CF，作P₃H⊥OA，根據(jù)△OCH∽△OHP₃得出

CF

P3H

=

OC

OH

，把x代入，再進行整理即可得出S與x的函數(shù)關(guān)系式；
（4）根據(jù)PQ²=P₃H²+HQ²₃得出PQ²=-x²-18x+108，因為6＜x＜12，所以當(dāng)x=-9時，求出PQ²有最小值

4×(-1)×108-182

-4

，然后求出PQ的_^最小值=

27

=3

3

，即可得出P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵△OAB是正三角形，BC是正△OAB的高，
∴OC=CA=

1

2

OA=

1

2

×6=3，
∴BC=tan60°×3=3

3

，
∴點B的坐標(biāo)是B(3，3

3

)；

（2）當(dāng)直線PQ⊥OB時．∠QPB=90°，
∵∠ABO=60°∴∠1=30°∴∠2=30°，
∵∠AOP=60°∴∠Q=90°-60°=30°，
∴∠α=∠Q，AP=AQ，
∴12-x=x-6，
∴2x=18，
x=9；

（3）當(dāng)0＜x＜3，S=

1

2

x•x•sin60°=

3

4

x2，
當(dāng)3≤x＜6時，S=S△OP2Q2-S△CEQ2=

1

2

x•x•sin60°-

1

2

(x-3)•(x-3)•

3

=-

3

4

x2+3

3

x-

9 3

2

，
6≤x＜12時，S=S△OCF=

1

2

×3•CF．
作P₃H⊥OA，
∵△OCF∽△OHP₃，
∴

CF

P3H

=

OC

OH

CF

(12-x)• 3 2

=

3

6- 12-x 2

，
∴CF=

3 3

x

(12-x)S=S△OCF=

1

2

×3•

3 3

x

(12-x)=

54 3

x

-

9 3

2

，
∴S與x的函數(shù)關(guān)系式是：s=

54 3

x

-

9 3

2

，

（4）PQ²=P₃H²+HQ²₃=[

3

2

(12-x)]2+(

12x

2

+x-6)2=x2-18x+108，
∵6＜x＜12當(dāng)x=-

-18

2

=9時，PQ²有最小值=

4×(-1)×108-182

-4

=27，
∴PQ_最小=

27

=3

3

∴P的坐標(biāo)是(

9

2

，

3

2

3

)．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程，要注意的是（3）中，要根據(jù)x的取值范圍分類求解．