【題目】如圖1,已知菱形的邊長為12,, 點、分別是邊、上的動點(不與端點重合),且.
(1)求證: 是等邊三角形;
(2)點、在運(yùn)動過程中,四邊形的面積是否變化,如果變化,請說明理由;如果不變,請求出面積;
(3)如圖2,連接分別與邊、交于、,當(dāng)時,求證:.
【答案】(1)見解析;(2)不變,;(3)見解析.
【解析】
(1)證明△ACE≌△ADF,證出AE=AF,結(jié)合,便證出△AEF是等邊三角形;
(2)根據(jù)△ACE≌△ADF,則四邊形的面積等于△ABC或者△ACD的面積.
(3)將△ADN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△ABP,連接PM.結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△MAN≌△MAP,根據(jù)四邊形ABCD是菱形,∠ABC=60°,推出∠BPM=90°,即可證明結(jié)論.
(1)在菱形ABCD中,∵∠B=60°,
∴△ABC是等邊三角形,∠D=∠B=60°,
∴AB=BC=AC,∠ACB=60°,
∴AC=AD,
∵,
∴∠CAE=∠DAF,
又∵∠D=∠ACE=60°,
∴△ACE≌△ADF,
∴AE=AF,
∴△AEF是等邊三角形;
(2)點、在運(yùn)動過程中,四邊形的面積不變.
理由:
∵△ACE≌△ADF,
∴,即
;
(3)將△ADN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△ABP,連接PM.
∵∠DAF=15°,∠EAF=60°,∠BAD=120°,
∴∠BAE=45°,∠BAP=∠DAF=15°,
∴∠MAN=∠MAP=60°,
∵AM=AM,AN=AP,
∴△MAN≌△MAP(SAS),
∴MN=PM,
∵四邊形ABCD是菱形,∠ABC=60°,
∴∠ADN=∠ADC=30°,
∴∠AND=180°-15°-30°=135°,∠ANM=45°,
∴∠APB=∠AND=135°,∠APM=∠ANM=45°,
∴∠BPM=90°,
∴BP2+PM2=BM2,
∵BP=DN,PM=MN,
∴DN2+MN2=BM2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,把△ABC 向上平移 3 個單位長度,再向右平移 2 個單位長度,得到△A′B′C′.
(1)畫出△A′B′C′;
(2)若點 P(m,n)是△ABC 某邊上的點,經(jīng)上述平移后,點 P 的對應(yīng)點為 P′,寫出點 P′ 的坐標(biāo);
(3)連接 A′A、C′C,求四邊形A′ACC′的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小區(qū)要用籬笆圍成一個四邊形花壇、花壇的一邊利用足夠長的墻,另三邊所用的籬笆之和恰好為18米.圍成的花壇是如圖所示的四邊形ABCD,其中∠ABC=∠BCD=90°,且BC=2AB.設(shè)AB邊的長為x米.四邊形ABCD面積為S平方米.
(1)請直接寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量x的取值范圍).
(2)當(dāng)x是多少時,四邊形ABCD面積S最大?最大面積是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一副三角板的三個內(nèi)角分別是,,和,,,按如圖所示疊放在一起(點在同一直線上),若固定,將繞著公共頂點順時針旋轉(zhuǎn)度(),當(dāng)邊與的某一邊平行時,相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角的值為_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料:
對于多項式,如果我們把代入此多項式,發(fā)現(xiàn)的值為0,這時可以確定多項式中有因式:同理,可以確定多項式中有另一個因式,于是我們可以得到:.
又如:對于多項式,發(fā)現(xiàn)當(dāng)時,的值為0,則多項式有一個因式,我們可以設(shè),解得,,于是我們可以得到:.
請你根據(jù)以上材料,解答以下問題:
(1)當(dāng) 時,多項式的值為0,所以多項式有因式 ,從而因式分解 .
(2)以上這種因式分解的方法叫試根法,常用來分解一些比較復(fù)雜的多項式.請你嘗試用試根法分解多項式:①;②.
(3)小聰用試根法成功解決了以上多項式的因式分解,于是他猜想:
代數(shù)式有因式 , , ,
所以分解因式 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中, 為邊上一點,過點作交于點,以為折線,將翻折,設(shè)所得的與梯形重疊部分的面積為.
()如圖(甲),若, , , ,則的值為__________.
()如圖(乙),若, , 為中點,則的值為__________.
()若, , ,設(shè).
①求與的函數(shù)解析式.
②是否有最大值,若有,求出的最大值;若沒有,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,長方形OABC中,O為平面直角坐標(biāo)系的原點,A點的坐標(biāo)為(4,0),C點的坐標(biāo)為(0,6),點B在第一象限內(nèi),點P從原點O出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿著O﹣A﹣B﹣C﹣O的路線移動(即沿長方形移動一周).
(1)寫出B點的坐標(biāo);
(2)當(dāng)點P移動3秒時,求三角形OAP的面積;
(3)在移動過程中,當(dāng)點P到x軸距離為4個單位長度時,求點P移動的時間.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地農(nóng)民一直保持著冬種油菜的習(xí)慣,利用農(nóng)閑冬種一季油菜.該地農(nóng)業(yè)部門對2017年的油菜籽生產(chǎn)成本、市場價格、種植面積和產(chǎn)量等進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計,并繪制了如下的統(tǒng)計表與統(tǒng)計圖(如圖):
每畝生產(chǎn)成本 | 每畝產(chǎn)量 | 油菜籽市場價格 | 種植面積 |
110元 | 130千克 | 3元/千克 | 500 000畝 |
請根據(jù)以上信息解答下列問題:
(1)種植油菜每畝的種子成本是多少元?
(2)農(nóng)民冬種油菜每畝獲利多少元?
(3)2017年該地全縣農(nóng)民冬種油菜的總獲利是多少元?(結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時,發(fā)現(xiàn)有這樣一組數(shù):1,1,2,3,5,8,13,…,其中從第三個數(shù)起,每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和.現(xiàn)以這組數(shù)中的各個數(shù)作為正方形的邊長值構(gòu)造正方形,再分別依次從左到右取2個、3個、4個、5個…正方形拼成如上長方形,若按此規(guī)律繼續(xù)作長方形,則序號為⑦的長方形周長是 .
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