Question

已知：如圖，拋物線(xiàn)c₁經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)，頂點(diǎn)為D，且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E．
（1）求拋物線(xiàn)c₁解析式；
（2）求四邊形ABDE的面積；
（3）△AOB與△BDE是否相似，如果相似，請(qǐng)予以證明；如果不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）設(shè)拋物線(xiàn)c₁的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)F，另一條拋物線(xiàn)c₂經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（拋物線(xiàn)c₂與拋物線(xiàn)c₁不重合），且頂點(diǎn)為M（a，b），對(duì)稱(chēng)軸與x軸相交于點(diǎn)G，且以M，G，E為頂點(diǎn)的三角形與以D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形全等，求a，b的值．（只需寫(xiě)出結(jié)果，不必寫(xiě)出解答過(guò)程）

Answer 1

（1）設(shè)c₁的解析式為y=ax²+bx+c，由圖象可知：c₁過(guò)A（-1，0），B（0，3），C（2，3）三點(diǎn)．

a-b+c=0 c=3 4a+2b+c=3

解得：

a=-1 b=2 c=3

∴拋物線(xiàn)c₁的解析式為y=-x²+2x+3．

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4．
∴拋物線(xiàn)c1的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）；
過(guò)D作DF⊥x軸于F，由圖象可知：OA=1，OB=3，OF=1，DF=4；
令y=0，則-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3
∴OE=3，則FE=2．
S_△ABO=

1

2

OA•OB=

1

2

×1×3=

3

2

；
S_△DFE=

1

2

DF•FE=

1

2

×4×2=4；
S_梯形BOFD=

1

2

（BO+DF）•OF=

7

2

．
∴S_{四邊形ABDE}=S_△AOB+S_梯形BOFD+S_△DFE=9（平方單位）．

（3）如圖，過(guò)B作BK⊥DF于K，則BK=OF=1．
DK=DF-OB=4-3=1．
∴BD=

DK2+BK2

=

2

，
又DE=

DF2+FE2

=2

5

；
AB=

10

，BE=3

2

；
在△ABO和△BDE中，
AO=1，BO=3，AB=

10

；
BD=

2

，BE=3

2

，DE=2

5

．
∵

AO

BD

=

BO

BE

=

AB

DE

=

1

2

∴△AOB∽△DBE．

（4）

a1=5 b1=4

，

a2=5 b2=-4

，

a3=7 b3=-1

，

a4=7 b4=1

，

a5=1 b5=-4

，

a6=-1 b6=-1

，

a7=-1 b7=1

．