【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,AB=15,動點P從點A出發(fā),沿AC→CB→BA邊運動,點P在AC、CB、BA邊上運動的速度分別為每秒3、4、5個單位,直線l從與AC重合的位置開始,以每秒個單位的速度沿CB方向移動,移動過程中保持l∥AC,且分別與CB,AB邊交于E,F(xiàn)兩點,點P與直線l同時出發(fā),設運動的時間為t秒,當點P第一次回到點A時,點P和直線l同時停止運動.

(1)當t=   秒時,△PCE是等腰直角三角形;

(2)當點P在AC邊上運動時,將△PEF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn),使得點P的對應點P1落在EF上,點F的對應點為F1,當EF1⊥AB時,求t的值;

(3)作點P關于直線EF的對稱點Q,在運動過程中,若形成的四邊形PEQF為菱形,求t的值;

(4)在整個運動過程中,設△PEF的面積為S,請直接寫出S的最大值.

【答案】(1);(2)t=;(3)當t=或t=時,四邊形PEQF為菱形;(4)在整個運動過程中,S的最大值為12.

【解析】試題分析:(1)直接利用等腰直角三角形的性質(zhì)建立方程即可;

(2)先求出CP=CE,進而得出CP=9﹣3t,最后建立方程求解即可;

(3)分三種情況,利用直角三角形中,利用銳角三角函數(shù)建立方程求解即可;

(4)分5中情況利用三角形的面積公式求出各段面積與時間的函數(shù)關系式,最后比較即可得出結(jié)論.

試題解析:(1)由運動知,CE=t,AP=3t,

∵AC=9,

∴PC=9﹣3t,

∵△PCE是等腰直角三角形,

∴PC=EC,

∴9﹣3t=t.

∴t=,

故答案為: ;

(2)如圖1,由題意,∠PEF=∠P1EF1

∵EF∥AC,∠C=90°,

∴∠BEF=90°,

∠CPE=∠PEF,

∵EF1⊥AB,

∴∠B=∠P1EF1

∴∠CPE=∠B,

∴tan∠CPE=tanB=,

∵tan∠CPE=

=,

∴CP=CE,

∵AP=3t(0<t<3),CE=t,

∴CP=9﹣3t,

∴9﹣3t=×t,解得t=

(3)如圖2,連接PQ交EF于點O,

∵P、Q關于直線EF對稱,

∴EF垂直平分PQ,

若四邊形PEQF為菱形,則OE=OF= EF

①當點P在AC邊上運動時,

易知四邊形POEC為矩形,

∴OE=PC,

∴PC=EF,

∵CE=t,

∴BE=12﹣t,EF=BEtanB=(12﹣t)=9﹣t,

∴9﹣3t=(9﹣t),解得t=

②當點P在CB邊上運動時,P、E、Q三點共線,不存在四邊形PEQF;

③如圖3,當點P在BA邊上運動時,則點P在點B、F之間,

∵BE=12﹣t,

∴BF=(12﹣t)=15﹣t,

∵BP=5(t﹣6),

∴PF=BF﹣BP=15﹣t﹣5(t﹣6)=45﹣t,

∵∠POF=∠BEF=90°,

∴PO∥BE,

∴∠OPF=∠B,

在Rt△POF中,sin∠OPF=sinB,

,解得t=

∴當t=或t=時,四邊形PEQF為菱形.

(4)在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理,得,BC=12,

當點P在邊AC上時,0≤t≤3,

當點P在邊BC上時,

點P和點E重合時,4(t﹣3)=t,

∴t=4.5,

當P剛好到點B時,t=6,

當點P在邊AB上時,且和點F重合時,

∵l∥AC,

∴△BEF∽△BCA,

,

,

,

∴t=6.75,

①當0≤t≤6時,如圖4,

由運動知,CE=t,

∴BE=12﹣t,

∵EF∥AC,

∴△BEF∽△BCA,

,

∴EF=9﹣t,

∴S△PEF=EFCE=(9﹣t)×t=﹣(t﹣2+

此時當t=3時,S△PEF最大=﹣(3﹣2+=12,

②當3<t<4.5時,如圖5,

由運動知,PE=t﹣4(t﹣3)=﹣t+12,

∴S△PEF=EFPE=(9﹣t)(﹣t+12)=t2﹣18t+54,

此時不存在最大值,

③當4.5<t≤6時,如圖6,

同②的方法,得,S△PEF=﹣t2+18t﹣54=﹣(t﹣2+

此時,當t=6時,S△PEF最大=6,

④當6<t<6.75時,如圖7,

在Rt△ABC中,sin∠B= =,

在Rt△BEQ中,sin∠B= =,

∴QE=(36﹣4t),在Rt△BEF中,sin∠B==,

∴BF=(9﹣t),

∴PF=BF﹣BP=(9﹣t)﹣5(t﹣6)=45﹣t

S△PEF=PFQE=t2﹣42t+162,

此時不存在最大值;

⑤當6.75<t<9時,如圖8,

同④的方法,得,S△PEF=﹣t2+42t﹣162,

由于對稱軸t=>9,

∴此時取不到最大值,

∴在整個運動過程中,S的最大值為12.

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決賽成績(單位:分)

(1)請你填寫下表:

平均數(shù)

眾數(shù)

中位數(shù)

七年級

85.5

87

八年級

85.5

85

九年級

84


(2)請從以下兩個不同的角度對三個年級的決賽成績進行分析:
從平均數(shù)和眾數(shù)相結(jié)合看(分析哪個年級成績好些):;
從平均數(shù)和中位數(shù)相結(jié)合看(分析哪個年級成績好些):;
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關注情況

頻數(shù)

頻率

A.高度關注

50

b

B.一般關注

120

0.6

C.不關注

a

0.1

D.不知道

10

0.05

(1)根據(jù)上述統(tǒng)計圖可得此次采訪的人數(shù)為   人,a=   ,b=   ;

(2)根據(jù)以上信息補全條形統(tǒng)計圖;

(3)根據(jù)上述采訪結(jié)果,請估計在6400名市民中,高度關注售后評價的市民約有多少人?

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C.(100﹣x)(50﹣x)=3600
D.(100﹣2x)(50﹣2x)=3600

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