【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,AB=15,動點P從點A出發(fā),沿AC→CB→BA邊運動,點P在AC、CB、BA邊上運動的速度分別為每秒3、4、5個單位,直線l從與AC重合的位置開始,以每秒個單位的速度沿CB方向移動,移動過程中保持l∥AC,且分別與CB,AB邊交于E,F(xiàn)兩點,點P與直線l同時出發(fā),設運動的時間為t秒,當點P第一次回到點A時,點P和直線l同時停止運動.
(1)當t= 秒時,△PCE是等腰直角三角形;
(2)當點P在AC邊上運動時,將△PEF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn),使得點P的對應點P1落在EF上,點F的對應點為F1,當EF1⊥AB時,求t的值;
(3)作點P關于直線EF的對稱點Q,在運動過程中,若形成的四邊形PEQF為菱形,求t的值;
(4)在整個運動過程中,設△PEF的面積為S,請直接寫出S的最大值.
【答案】(1);(2)t=;(3)當t=或t=時,四邊形PEQF為菱形;(4)在整個運動過程中,S的最大值為12.
【解析】試題分析:(1)直接利用等腰直角三角形的性質(zhì)建立方程即可;
(2)先求出CP=CE,進而得出CP=9﹣3t,最后建立方程求解即可;
(3)分三種情況,利用直角三角形中,利用銳角三角函數(shù)建立方程求解即可;
(4)分5中情況利用三角形的面積公式求出各段面積與時間的函數(shù)關系式,最后比較即可得出結(jié)論.
試題解析:(1)由運動知,CE=t,AP=3t,
∵AC=9,
∴PC=9﹣3t,
∵△PCE是等腰直角三角形,
∴PC=EC,
∴9﹣3t=t.
∴t=,
故答案為: ;
(2)如圖1,由題意,∠PEF=∠P1EF1,
∵EF∥AC,∠C=90°,
∴∠BEF=90°,
∠CPE=∠PEF,
∵EF1⊥AB,
∴∠B=∠P1EF1,
∴∠CPE=∠B,
∴tan∠CPE=tanB=,
∵tan∠CPE= ,
∴=,
∴CP=CE,
∵AP=3t(0<t<3),CE=t,
∴CP=9﹣3t,
∴9﹣3t=×t,解得t=.
(3)如圖2,連接PQ交EF于點O,
∵P、Q關于直線EF對稱,
∴EF垂直平分PQ,
若四邊形PEQF為菱形,則OE=OF= EF
①當點P在AC邊上運動時,
易知四邊形POEC為矩形,
∴OE=PC,
∴PC=EF,
∵CE=t,
∴BE=12﹣t,EF=BEtanB=(12﹣t)=9﹣t,
∴9﹣3t=(9﹣t),解得t=.
②當點P在CB邊上運動時,P、E、Q三點共線,不存在四邊形PEQF;
③如圖3,當點P在BA邊上運動時,則點P在點B、F之間,
∵BE=12﹣t,
∴BF=(12﹣t)=15﹣t,
∵BP=5(t﹣6),
∴PF=BF﹣BP=15﹣t﹣5(t﹣6)=45﹣t,
∵∠POF=∠BEF=90°,
∴PO∥BE,
∴∠OPF=∠B,
在Rt△POF中,sin∠OPF=sinB,
∴ ,
∴ ,解得t=.
∴當t=或t=時,四邊形PEQF為菱形.
(4)在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理,得,BC=12,
當點P在邊AC上時,0≤t≤3,
當點P在邊BC上時,
點P和點E重合時,4(t﹣3)=t,
∴t=4.5,
當P剛好到點B時,t=6,
當點P在邊AB上時,且和點F重合時,
∵l∥AC,
∴△BEF∽△BCA,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴t=6.75,
①當0≤t≤6時,如圖4,
由運動知,CE=t,
∴BE=12﹣t,
∵EF∥AC,
∴△BEF∽△BCA,
∴ ,
∴ ,
∴EF=9﹣t,
∴S△PEF=EFCE=(9﹣t)×t=﹣(t﹣)2+,
此時當t=3時,S△PEF最大=﹣(3﹣)2+=12,
②當3<t<4.5時,如圖5,
由運動知,PE=t﹣4(t﹣3)=﹣t+12,
∴S△PEF=EFPE=(9﹣t)(﹣t+12)=t2﹣18t+54,
此時不存在最大值,
③當4.5<t≤6時,如圖6,
同②的方法,得,S△PEF=﹣t2+18t﹣54=﹣(t﹣)2+
此時,當t=6時,S△PEF最大=6,
④當6<t<6.75時,如圖7,
在Rt△ABC中,sin∠B= =,
在Rt△BEQ中,sin∠B= =,
∴QE=(36﹣4t),在Rt△BEF中,sin∠B==,
∴BF=(9﹣t),
∴PF=BF﹣BP=(9﹣t)﹣5(t﹣6)=45﹣t
S△PEF=PFQE=t2﹣42t+162,
此時不存在最大值;
⑤當6.75<t<9時,如圖8,
同④的方法,得,S△PEF=﹣t2+42t﹣162,
由于對稱軸t=>9,
∴此時取不到最大值,
∴在整個運動過程中,S的最大值為12.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了普及環(huán)保知識,增強環(huán)保意識,某中學組織了環(huán)保知識競賽活動,初中三個年級根據(jù)初賽成績分別選出了10名同學參加決賽(滿分為100分)如表所示:
決賽成績(單位:分)
(1)請你填寫下表:
平均數(shù) | 眾數(shù) | 中位數(shù) | |
七年級 | 85.5 | 87 | |
八年級 | 85.5 | 85 | |
九年級 | 84 |
(2)請從以下兩個不同的角度對三個年級的決賽成績進行分析:
從平均數(shù)和眾數(shù)相結(jié)合看(分析哪個年級成績好些):;
從平均數(shù)和中位數(shù)相結(jié)合看(分析哪個年級成績好些):;
(3)如果在每個年級參加決賽的選手中分別選出三人參加決賽,你認為哪個年級的實力更強一些。說明理由:。
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】網(wǎng)上購物已經(jīng)成為人們常用的一種購物方式,售后評價特別引人關注,為了解市民對售后評價的關注情況,隨機采訪部分市民,對采訪情況制作了如下統(tǒng)計圖表:
關注情況 | 頻數(shù) | 頻率 |
A.高度關注 | 50 | b |
B.一般關注 | 120 | 0.6 |
C.不關注 | a | 0.1 |
D.不知道 | 10 | 0.05 |
(1)根據(jù)上述統(tǒng)計圖可得此次采訪的人數(shù)為 人,a= ,b= ;
(2)根據(jù)以上信息補全條形統(tǒng)計圖;
(3)根據(jù)上述采訪結(jié)果,請估計在6400名市民中,高度關注售后評價的市民約有多少人?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】有一塊長方形鐵皮,長100cm,寬50cm,在它的四周各切去一個同樣的正方形,然后將四周突出部分折起,就能制作一個無蓋方盒.如果要制作的無蓋方盒的底面積為3600cm2 , 設鐵皮各角應切去的正方形邊長為xcm,則下面所列方程正確的是( )
A.4x2=3600
B.100×50﹣4x2=3600
C.(100﹣x)(50﹣x)=3600
D.(100﹣2x)(50﹣2x)=3600
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