【題目】如圖,拋物線y=x22x+3 的圖象與x軸交于A、B兩點(A在點B的左邊),與y軸交于點C

1)求A、B、C的坐標;

2)過拋物線上一點Fy軸的平行線,與直線AC交于點G.若FG=AC,求點F的坐標;

3E(0,2),連接BE.將△OBE繞平面內(nèi)的某點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△OBE,O、B、E的對應(yīng)點分別為O、BE.若點B、E兩點恰好落在拋物線上,求點B的坐標.

【答案】(1)A(30);B(1,0);C(0,3);(2F點的坐標為(1,4)(2,3)(,)(,);(3(,)

【解析】

1)對于拋物線分別令x=0,y=0即可求解;
2)先求出AC的解析式,由題意可知FG=2,設(shè)Fm,-m2-2m+3),則Gmm+3),則有|-m2-2m+3-m+3|=2,解方程即可;
3)如圖2中,旋轉(zhuǎn)90°后,對應(yīng)線段互相垂直且相等,則BE互相垂直且相等.設(shè)t,-t2-2t+3),則t+2,-t2-2t+3-1).因為在拋物線上,則有-t+22-2t+2+3=-t2-2t+3-1,解方程即可.

1)對于拋物線y=x22x+3

x=0y=3,

C(0,3),

y=0,則﹣x22x+3=0解得x=31,

A(30),B(1,0)C(0,3)

2)如圖1中,

A(30),C(0,3),

∴直線AC解析式為y=x+3OA=OC=3,

AC=3,FG=AC=2,

設(shè)F(m,﹣m22m+3),則G(m,m+3),

|m22m+3(m+3)|=2,

解得m=1或﹣2,

F點的坐標為(1,4)(2,3)(,)(,)

3)如圖2中,旋轉(zhuǎn)90°后,對應(yīng)線段互相垂直且相等,則BEBE互相垂直且相等.

設(shè)B(t,﹣t22t+3),則E(t+2,﹣t22t+31)

E′在拋物線上,則﹣(t+2)22(t+2)+3=t22t+31,

解得:t=,則B′的坐標為(,)

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