【題目】將一副三角尺如圖①擺放(在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°.Rt△DEF中,∠EDF=90°,∠E=45°).點D為AB的中點,DE交AC于點P,DF經(jīng)過C,且BC=2.
(1)求證:△ADC∽△APD;
(2)求△APD的面積;
(3)如圖②,將△DEF繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)角(0°<<60°),此時的等腰直角三角尺記為△DE′F′,DE′交AC于點M,DF′交BC于點N,試判斷的值是否會隨著的變化而變化,如果不變,請求出的值;反之,請說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)(3)的值不會隨著的變化而變化,理由見解析.
【解析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD=AD=BD=AB,根據(jù)等邊對等角求出∠ACD=∠A,再求出∠ADC=120°,再根據(jù)∠ADE=∠ADC-∠EDF計算即可得解;
(2)根據(jù)同角的余角相等求出∠PDM=∠CDN,再根據(jù)然后求出△BCD是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠BCD=60°,再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠CPD=60°,從而得到∠CPD=∠BCD,再根據(jù)兩組角對應(yīng)相等,兩三角形相似判斷出△DPM和△DCN相似,再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得=為定值.
解:(1)證明:由題意知CD是△ABC中斜邊AB上的中線,
∴AD=BD=CD.
∵在△BCD中,BD=CD,且∠B=60°,
∴△BCD為等邊三角形.
∴∠BCD=∠BDC=60°,
∴∠ACD=90°-60°=30°,∠ADE=180°-∠BDC-∠EDF=30°,
∴∠ACD=∠ADE=30°,又∵∠A是公共角,
∴△ADC∽△APD.
(2)∵△BCD為等邊三角形,∴DC=BC=2.
在Rt△PDC中,∠PCD=30°,∴PD=DCtan30°,
由(1)得∠ADE=30°,又∠PAD=90°-60°=30°,
∴△PAD是等腰三角形,∴AP=PD,AD=2,
作PH⊥AD于H,在Rt△PAH中,由∠PAH=30°得,
.
(3)的值不會隨著的變化而變化.
∵∠MPD=∠A+∠ADE=60°,
∴∠MPD=∠BCD=60°.
∵在△MPD和△NCD中,∠MPD=∠NCD=60°,∠PDM=∠CDN= ,
∴△MPD∽△NCD,∴.
∵在△APD中,∠A=∠ADE=30°,
∴在等腰△APD中, ,
∴
“點睛”本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì),熟記各性質(zhì)并判斷出相似三角形是解題的關(guān)鍵,也是本題的難點.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AD∥BC,AB⊥BC,AB=3.點E為射線 BC上一個動點,連接AE,將△ABE沿AE折疊,點B落在點B′處,過點B′作AD的垂線,分別交AD,BC于點M,N.當(dāng)點B′為線段MN的三等分點時,BE的長為__________ .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,長方形紙片ABCD,點E、F分別在邊AB、CD上,連接EF,將∠BEF對折,點B落在直線EF上的B′處,得到折痕EC,將點A落在直線EF上的點A′處,得到折痕EN.
(1)若∠BEB′=110°,則∠BEC=°,∠AEN=°,∠BEC+∠AEN=°.
(2)若∠BEB′=m°,則(1)中∠BEC+∠AEN的值是否改變?請說明你的理由.
(3)將∠ECF對折,點E剛好落在F處,且折痕與B′C重合,求∠DNA′.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=10,BC=12,BC邊上的中線AD=8.
(1)證明:△ABC為等腰三角形;
(2)點H在線段AC上,試求AH+BH+CH的最小值.
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【題目】閱讀下面材料:
小偉遇到這樣一個問題:如圖1,在△ABC(其中∠BAC是一個可以變化的角)中,AB=2,AC=4,以BC為邊在BC的下方作等邊△PBC,求AP的最大值.
小偉是這樣思考的:利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合.他的方法是以點B為旋轉(zhuǎn)中心將△ABP逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′BC,連接A′A,當(dāng)點A落在A′C上時,此題可解(如圖2).
(1)請你回答:AP的最大值是 .
(2)參考小偉同學(xué)思考問題的方法,解決下列問題:
如圖3,等腰Rt△ABC.邊AB=4,P為△ABC內(nèi)部一點,請寫出求AP+BP+CP的最小值長的解題思路.
提示:要解決AP+BP+CP的最小值問題,可仿照題目給出的做法.把△ABP繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)60,得到△A′BP′.
①請畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形
②請寫出求AP+BP+CP的最小值的解題思路(結(jié)果可以不化簡).
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【題目】2013年第一季度,泰州市共完成工業(yè)投資22300000000元,22300000000這個數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將△ABC繞O點順時針旋轉(zhuǎn)50°得△A1B1C1(A、B分別對應(yīng)A1、B1),則直線AB與直線A1B1的夾角(銳角)為( )
A.130°
B.50°
C.40°
D.60°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點A、C的坐標(biāo)分別為(10,0),(0,4),點D是OA的中點,點P在BC上運(yùn)動,當(dāng)△ODP是腰長為5的等腰三角形時,點P的坐標(biāo)為 .
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