Question

【題目】（探索發(fā)現(xiàn)）

如圖①，是一張直角三角形紙片，，小明想從中剪出一個以為內角且面積最大的矩形，經(jīng)過多次操作發(fā)現(xiàn)，當沿著中位線、剪下時，所得的矩形的面積最大，隨后，他通過證明驗證了其正確性，并得出：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為_____________．

（拓展應用）

如圖②，在中，，邊上的高，矩形的頂點、分別在邊、上，頂點、在邊上，則矩形面積的最大值為_________．（用含的代數(shù)式表示）

（靈活應用）

如圖③，有一塊“缺角矩形”，，，，，小明從中剪出了一個面積最大的矩形（為所剪出矩形的內角），求該矩形的面積．

（實際應用）

如圖④，現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料，經(jīng)測量，，，且，，木匠徐師傅從這塊余料中裁出了頂點、在邊上且面積最大的矩形，求該矩形的面積．

Answer 1

【答案】【探索發(fā)現(xiàn)】；【拓展應用】；【靈活應用】720；【實際應用】2205cm2．

【解析】

（1）【探索發(fā)現(xiàn)】：由中位線知EF=BC、ED=AB、由 可得結論；
（2）【拓展應用】：設PN=b，證明△APN∽△ABC，表示PQ的長，根據(jù)矩形的面積公式得：S=bPQ=+bh，根據(jù)二次函數(shù)求最值即可；
（3）【靈活應用】：添加如圖1輔助線，取BF中點I，FG的中點K，由矩形性質知AE=EH=20、CD=DH=16，分別證△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=16、CG=HE=20，從而判斷出中位線IK的兩端點在線段AB和DE上，利用【探索發(fā)現(xiàn)】結論解答即可；
（4）【實際應用】：延長BA、CD交于點E，過點E作EH⊥BC于點H，由tanB和tanC得BH和CH、EH的長，繼而求得BE和CE的長，可判斷中位線PQ的兩端點在線段AB、CD上，利用【拓展應用】結論解答可得．

（1）【探索發(fā)現(xiàn)】：設EF=x，ED=y，
∵EF、ED為△ABC中位線，
∴ED∥AB，EF∥BC，EF=BC，ED=AB，
∴AB=2ED=2y，BC=2EF=2x，
又∠B=90°，
∴四邊形FEDB是矩形，
則 ，
故答案為：；
（2）【拓展應用】：設PN=b，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴，
∵BC=a，BC邊上的高AD=h，
∴ ，PQ=，
∴S=bPQ=+bh，
∴S的最大值為： ；
則矩形PQMN面積的最大值為；
故答案為：；

（3）【靈活應用】：如圖1，延長BA、DE交于點F，延長BC、ED交于點G，延長AE、CD交于點H，取BF中點I，FG的中點K，

由題意知四邊形ABCH是矩形，
∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，
∴EH=20、DH=16，
∴AE=EH、CD=DH，
在△AEF和△HED中，
∵ ，
∴△AEF≌△HED（ASA），
∴AF=DH=16，
同理△CDG≌△HDE，
∴CG=HE=20，
∴BI==24，
∵BI=24＜32，
∴中位線IK的兩端點在線段AB和DE上，
過點K作KL⊥BC于點L，
由【探索發(fā)現(xiàn)】知矩形的最大面積為×BGBF=×（40+20）×（32+16）=720，
答：該矩形的面積為720；

（4）【實際應用】：如圖2，延長BA、CD交于點E，過點E作EH⊥BC于點H，

∵tanB=，
設EH=4x，BH=3x，
∵tanC=2=，
∴CH=2x，
∵BC=BH+CH=105=3x+2x，x=21，
∴BH=63，CH=42，EH=84，
由勾股定理得：BE=，
∵AB=60，
∴AE=45，
∴BE的中點Q在線段AB上，
∵CD=70，
∴CE的中點P在線段CD上，
∴中位線PQ的兩端點在線段AB、CD上，
由【拓展應用】知，矩形PQMN的最大面積為BCEH=×105×84=2205cm2，
答：該矩形的面積為2205cm2．