Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AC邊上一動點，CE⊥BD于E．

（1）如圖（1），若BD平分∠ABC時，①求∠ECD的度數；②延長CE交BA的延長線于點F，補全圖形，探究BD與EC的數量關系，并證明你的結論；

（2）如圖（2），過點A作AF⊥BE于點F，猜想線段BE，CE，AF之間的數量關系，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）①22.5°②BD=2CE（2）BE﹣CE=2AF

【解析】試題分析：（1）①根據等腰直角三角形的性質得出∠CBA=45°，再利用角平分線的定義解答即可；②延長CE交BA的延長線于點F得出CE=FE，再利用AAS證明△ABD≌△ACF，利用全等三角形的性質解答即可；（2）過點A作AH⊥AE，交BE于點H，證明△ABH≌△ACE，進而得出CE=BH，利用等腰直角三角形的判定和性質解答即可．

試題解析：

（1）①∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠CBA=45°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBA=22.5°，

∵CE⊥BD，∴∠ECD+∠CDE=90°，∠DBA+∠BDA=90°，

∵∠CDE=∠BDA，∴∠ECD=∠DBA=22.5°；

②BD=2CE．

證明：延長CE交BA的延長線于點F，如圖1，

∵BD平分∠ABC，CE⊥BD，

∴CE=FE，

在△ABD與△ACF中，

，

∴△ABD≌△ACF（AAS），

∴BD=CF=2CE；

（2）結論：BE﹣CE=2AF．

證明：過點A作AH⊥AE，交BE于點H，如圖2，

∵AH⊥AE，

∴∠BAH+∠HAC=∠HAC+∠CAE，

∴∠BAH=∠CAE，

在△ABH與△ACE中，，

∴△ABH≌△ACE（ASA），

∴CE=BH，AH=AE，

∴△AEH是等腰直角三角形，

∴AF=EF=HF，

∴BE﹣CE=2AF．