Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點(點D與A，B不重合)，連接CD，過點C作CE⊥CD，且CE＝CD，連接DE交BC于點F，連接BE．

(1)求證：AB⊥BE；

(2)當AD＝BF時，求∠BEF的度數(shù)．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)∠BEF＝67.5°.

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性質可得∠A＝∠ABC＝45°，根據“SAS”可證△ACD≌△BCE，可得∠A＝∠CBE＝45°＝∠ABC，即AB⊥BE；

（2）由全等三角形的性質可得AD＝BE＝BF，根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理可求∠BEF的度數(shù)．

證明：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠A＝∠ABC＝45°，

∵CE⊥CD，

∴∠DCE＝90°，

∴∠ACB＝∠DCE，

∴∠ACD＝∠BCE，且AC＝BC，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE(SAS)，

∴∠A＝∠CBE＝45°，

∵∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝45°+45°＝90°，

∴AB⊥BE；

(2)∵△ACD≌△BCE，

∴AD＝BE，

∵AD＝BF，

∴BE＝BF，且∠CBE＝45°，

∴∠BEF＝∠BFE＝67.5°.