Question

【題目】如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”．如：，，，因此4，12，20都是“神秘?cái)?shù)”

（1）請(qǐng)說明28是否為“神秘?cái)?shù)”；

（2）下面是兩個(gè)同學(xué)演算后的發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)選擇一個(gè)“發(fā)現(xiàn)”，判斷真假，并說明理由．

①小能發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)和（其中取非負(fù)整數(shù)）構(gòu)造的“神秘?cái)?shù)”也是4的倍數(shù)．

②小仁發(fā)現(xiàn)：2016是“神秘?cái)?shù)”．

提示：（2）中兩個(gè)發(fā)現(xiàn)，只需解答其中一個(gè)，若兩個(gè)都做，按“小能發(fā)現(xiàn)”的解答計(jì)分．

Answer 1

【答案】（1）是，證明見解析；（2）①由2k＋2和2k構(gòu)造的“神秘?cái)?shù)”是4的倍數(shù)，且是奇數(shù)倍. 證明見解析；②2016是“神秘?cái)?shù)”是假命題,證明見解析.

【解析】

對(duì)于（1）結(jié)合神秘?cái)?shù)的定義，看是否可以將28寫成兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，即可得出答案；

(2) 對(duì)于①，兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)為(2k+2)2-(2k)2，化簡(jiǎn)看是否是4的倍數(shù)；

對(duì)于②，結(jié)合神秘?cái)?shù)的定義，看是否可以將2016寫成兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，即可得出答案；

（1）28是“神秘?cái)?shù)”,理由如下：

∵28=82-62

∴28是“神秘?cái)?shù)”

（2）當(dāng)選擇①時(shí)，(2k＋2)2－(2k)2＝(2k＋2－2k)(2k＋2＋2k)＝4(2k＋1)，

∴由2k＋2和2k構(gòu)造的“神秘?cái)?shù)”是4的倍數(shù)，且是奇數(shù)倍.

②當(dāng)選擇②時(shí)，2016是“神秘?cái)?shù)”是假命題,

理由:

=

=8k+4,

令8k+4=2016，得k=251.5,

∵k為須整數(shù),

∴k=251.5不符合實(shí)際，舍去,

∴201 6是“神秘?cái)?shù)"錯(cuò)誤.