【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,的斜邊在直線上,且是的中點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為.點(diǎn)在線段上從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)在線段上從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng),且.
(1)求的長(zhǎng)及點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)作交于點(diǎn),作交于點(diǎn),連結(jié),,設(shè).
①在,相遇前,用含的代數(shù)式表示的長(zhǎng).
②當(dāng)為何值時(shí),與坐標(biāo)軸垂直.
(3)若交軸于點(diǎn),除點(diǎn)與點(diǎn)重合外,的值是否為定值,若是,請(qǐng)直接寫(xiě)出的值,若不是,請(qǐng)直接寫(xiě)出它的取值范圍.
【答案】(1)BC=10,B(3,4);(2)①;②和;(3)為定值;
【解析】
(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為,再利用勾股定理進(jìn)行求解即可;
(2)①由勾股定理求出AB,AC的長(zhǎng),進(jìn)而求出的值,再利用三角函數(shù)求解CE,CF的長(zhǎng)即可得出EF的長(zhǎng);
②分兩種情況討論,當(dāng)與軸垂直、與x軸垂直,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可;
(3)作輔助線如圖所示,根據(jù),利用三角函數(shù)分別表示出CR和PI,進(jìn)而表示出FN和PM即可求出.
(1)作,如圖,
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,
∵點(diǎn)O是BC的中點(diǎn),△ABC是直角三角形,
∴OA=OB=OC,
由勾股定理得:,
∴,
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為
∴OB=5,
∴BC=10,
(2)①解:在中,,,
∴,
由勾股定理得:,
∴,
∴,
,
∴.
②1.當(dāng)與軸垂直時(shí),則,如圖,
∴,
∴,
∴,
∴.
2.當(dāng)與軸垂直時(shí),則軸,如圖,
∴,作,
∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,
∴,
∴,,
又,
∴
∴,
∴,
∴
綜上所述:當(dāng)和時(shí),與坐標(biāo)軸垂直.
(3)為定值.
過(guò)點(diǎn)F作FR∥y軸,F(xiàn)N∥x軸,過(guò)點(diǎn)C作CK∥x軸,交FR于點(diǎn)R,CH∥y軸,過(guò)點(diǎn)P作MI∥x軸,如圖所示,
在Rt△BKC中,CK=6,BK=8,
∴,
在Rt△FRC中,
CR==,
∴FN=,
在Rt△CHA中,,
在Rt△CPI中,PI=,
∴,
∵PM∥FN,
,
故為定值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,四邊形ABCD中,AC⊥BD于點(diǎn)O,AO=CO=4,BO=DO=3,點(diǎn)P為線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).過(guò)點(diǎn)P分別作PM⊥AD于點(diǎn)M,作PN⊥DC于點(diǎn)N. 連接PB,在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,PM+PN+PB的最小值等于_________ .
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【題目】袋中有四張卡片,其中兩張紅色卡片,標(biāo)號(hào)分別為;兩張藍(lán)色卡片,標(biāo)號(hào)分別為.
(1)從以上四張卡片中任取兩張,求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于的概率;
(2)向袋中再放入一張綠色卡片,標(biāo)號(hào)記為,從這五張卡片中任取兩張,求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形AEFG的頂點(diǎn)E、G在正方形ABCD的邊AB、AD上,連接BF、DF.
(1)求證:BF=DF;
(2)連接CF,請(qǐng)直接寫(xiě)出的值為__________(不必寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程).
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【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B,與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,且OC=OB,其中B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),對(duì)稱軸l為直線x=.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在x軸上方有一點(diǎn)P,連接PA后滿足∠PAB=∠CAB,記△PBC的面積為S,求當(dāng)S=10.5時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,當(dāng)點(diǎn)P恰好落在拋物線上時(shí),將直線BC上下平移,平移后的直線y=x+t與拋物線交于C′、B′兩點(diǎn)(C′在B′的左側(cè)),若以點(diǎn)C′、B′、P為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形,求出t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】陳先生駕車從杭州到上海,要經(jīng)過(guò)一段高速公路,假設(shè)汽車在高速公路上勻速行駛,記行駛時(shí)間為t小時(shí),速度為v千米/小時(shí),如果陳先生駕車速度為90千米/小時(shí),2小時(shí)可以通過(guò)高速公路.
(1)求v與t的函數(shù)表達(dá)式.
(2)高速公路的速度限定為不超過(guò)120千米/小時(shí),陳先生計(jì)劃10:00駛?cè)敫咚伲?/span>11:48前駕駛離開(kāi)高速公路,求它的駕車速度v的取值范圍.
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【題目】如圖,在正方形各邊上分別截取,且,若四邊形的面積為.四邊形面積為,當(dāng),且時(shí),則的長(zhǎng)為( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖,點(diǎn)A在線段BD上,在BD的同側(cè)作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE,其中∠ABC=∠AED=90°,CD與BE、AE分別交于點(diǎn)P、M.對(duì)于下列結(jié)論:①△CAM∽△DEM;②CD=2BE;③MPMD=MAME;④2CB2=CPCM.其中正確的是( )
A. ①②B. ①②③C. ①②③④D. ①③④
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【題目】如圖,某校教學(xué)樓與實(shí)驗(yàn)樓的水平間距米,在實(shí)驗(yàn)樓頂部點(diǎn)測(cè)得教學(xué)樓頂部點(diǎn)的仰角是,底部點(diǎn)的俯角是,則教學(xué)樓的高度是____米(結(jié)果保留根號(hào)).
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