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【題目】如圖:在等腰直角三角形中,AB=AC,點D是斜邊BC上的中點,點E、F分別為AB,AC上的點,且DE⊥DF。(1)若設,,滿足.

(1)求BE及CF的長。

(2)求證:。

(3)(1)的條件下,求△DEF的面積。

【答案】(1)BE=12,CF=5;(2)證明見解析;(3)

【解析】

試題分析:(1)先根據二次根式的非負性求出m=2,再由非負數的性質求出a、b的值,進而得到BE及CF的長;

(2)延長ED到P,使DP=DE,連接FP,CP,利用SAS得到三角形BED與三角形CPD全等,利用全等三角形對應邊相等得到BE=CP,再利用SAS得到EDF和PDF全等,利用全等三角形對應邊相等得到EF=FP,利用等角的余角相等得到FCP為直角,在直角三角形FCP中,利用勾股定理列出關系式,等量代換即可得證;

(3)連接AD,由AB=AC,且D為BC的中點,利用三線合一得到AD垂直于BC,AD為角平分線,再由三角形ABC為等腰直角三角形,得到一對角相等,利用同角的余角相等得到一對角相等,再由AD=CD,利用ASA得到三角形AED與三角形CFD全等,利用全等三角形對應邊相等得到AE=CF=5,DE=DF,由AE+EB求出AB的長,即為AC的長,再由AC-CF求出AF的長,在直角三角形AEF中,利用勾股定理求出EF的長,再根據三角形DEF為等腰直角三角形求出DE與DF的長,即可確定出三角形DEF的面積.

試題解析:(1)由題意得

解得m=2,

+|b-5|=0,

所以a-12=0,b-5=0,

a=12,b=5,

即BE=12,CF=5;

(2)延長ED到P,使DP=DE,連接FP,CP,

BED和CPD中,

,

∴△BED≌△CPD(SAS),

BE=CP,B=CDP,

EDF和PDF中,

,

∴△EDF≌△PDF(SAS),

EF=FP,

∵∠B=DCP,A=90°

∴∠B+ACB=90°,

∴∠ACB+DCP=90°,即FCP=90°,

在RtFCP中,根據勾股定理得:CF2+CP2=PF2,

BE=CP,PF=EF,

BE2+CF2=EF2;

(3)連接AD,

∵△ABC為等腰直角三角形,D為BC的中點,

∴∠BAD=FCD=45°,AD=BD=CD,ADBC,

EDFD,

∴∠EDA+ADF=90°,ADF+FDC=90°

∴∠EDA=FDC,

AED和CFD中,

,

∴△AED≌△CFD(ASA),

AE=CF=5,DE=DF,即EDF為等腰直角三角形,

AB=AE+EB=5+12=17,

AF=AC-FC=AB-CF=17-5=12,

在RtEAF中,根據勾股定理得:EF==13,

設DE=DF=x,

根據勾股定理得:x2+x2=132,

解得:x=,即DE=DF=,

則SDEF=DEDF=××=

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