Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A在x軸的正半軸上，△AOB為等腰三角形，且OA=OB，過點B作y軸的垂線，垂足為D，直線AB的解析式為y=-3x+30，點C在線段BD上，點D關于直線OC的對稱點在腰OB上．
（1）求點B坐標；
（2）點P沿折線BC-OC以每秒1個單位的速度運動，當一點停止運動時，另一點也隨之停止運動．設△PQC的面積為S，運動時間為t，求S與t的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，連接PQ，設PQ與OB所成的銳角為α，當α=90°-∠AOB時，求t值．（參考數(shù)據(jù)：在（3）中，

5

取

11

5

．）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，可以把點B的坐標設出來，利用直線與x軸的交點坐標可以求出A點坐標，求出OA的長度，從而求出AB，根據(jù)勾股定理可以求出B點的坐標．
（2）當P、Q在運動中，分為P點在BC、OC上兩種情況的面積，利用三角形相似可以用t的式子表示出△PQC的面積．
（3）在運動中當α=90°-∠AOB時，則有PQ⊥OB，PQ⊥OC兩種情況，利用解直角三角形的銳角三角函數(shù)值三角形相似求出相應的t的值．

解答：解：（1）由題可設點B的坐標為（a，-3a+30），作BG⊥OA于G
在Rt△OBG中，由勾股定理可得：a²+（-3a+30）²=10²
解得：a₁=10，a₂=8
當a=10時，-3a+30=0，（與A點重合，不符合題意舍去）
當a=8時，-3a+30=6
∴B（8，6）；

（2）①當0≤t＜5時，如圖1所示；
過點C作CF⊥OB于F，則△OCD≌△OCF．
在Rt△BCF中，由勾股定理可得：CF=3，BC=5
即OF=OD=6，CF=CD．
過點Q作QN⊥BD于N，則QN∥OD，∴△BQN∽△BDO，
∴

QN

OD

=

BQ

OB

即

QN

6

=

10-t

10

∴QN=6-

3

5

t，…1′
∴S=

1

2

(6-

3

5

t)•(5-t)即S=

3

10

t2-

9

2

t+15…1′
②當5＜t≤10時，如圖2所示；
過點Q作QM⊥OC于M，∵COQ=∠COD，∠CDO=∠QMO=90°，
∴△QMO∽△COD，∴

QM

CD

=

OQ

OC

即

QM

3

=

t

32+62

∴QM=

5

5

t，…1′
∴S=

1

2

×

5

5

t•(t-5)即S=

5

10

t2-

5

2

t…1′
（3）①當0≤t＜5時，如圖3所示：
∵α=90°-∠AOB=∠BOD，即∠PQB=∠DOB，sin∠PQB=sin∠DOB
∴

BP

QB

=

BD

OB

即

t

10-t

=

8

10

∴t=

40

9

②當5＜t≤10時，如圖4所示；
過點P作PH⊥OB于H．
∵tan∠POB=

1

2

，tan∠PQO=

4

3

，
∴可設PH=4k，QM=3k，則OH=8k，由勾股定理可求得OP=4

5

k
∴11k=t，k=

t

11

，∴OP=4

5

k=

4 5 t

11

，
又∵OP=5+3

5

-t
即5+3

5

-t=

4 5 t

11

（

5

=

11

5

），
∴t=

58

9

．

點評：本題是一道一次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求點的坐標，勾股定理的運用，全等三角形的運用，相似三角形的運用以及銳角三角函數(shù)值．動點問題的解題的關鍵是動中找靜止時的圖象特征求解．任何運動的圖象在任何一瞬間都是靜止的．