Question

【題目】如圖，甲、乙兩人分別從A（1， ）、B（6，0）兩點同時出發(fā)，點O為坐標(biāo)原點，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行駛，th后，甲到達(dá)M點，乙到達(dá)N點．
（1）請說明甲、乙兩人到達(dá)O點前，MN與AB不可能平行；
（2）當(dāng)t為何值時，△OMN∽△OBA；
（3）甲、乙兩人之間的距離為MN的長，設(shè)s=MN2 ， 求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求甲、乙兩人之間距離的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因為A坐標(biāo)為（1， ），

所以O(shè)A=2，∠AOB=60°．

因為OM=2﹣4t，ON=6﹣4t，

當(dāng) = 時，解得t=0，

即在甲、乙兩人到達(dá)O點前，只有當(dāng)t=0時，△OMN∽△OAB，所以MN與AB不可能平行

（2）證明：因為甲達(dá)到O點時間為t= ，乙達(dá)到O點的時間為t= = ，所以甲先到達(dá)O點，所以t= 或t= 時，O、M、N三點不能連接成三角形，

①當(dāng)t＜ 時，如果△OMN∽△OBA，則有 = ，解得t=2＞ ，所以，△OMN不可能相似△OBA；

②當(dāng) ＜t＜ 時，∠MON＞∠AOB，顯然△OMN不相似△OBA；

③當(dāng)t＞ 時， = ，解得t=2＞ ，所以當(dāng)t=2時，△OMN∽△OBA

（3）證明：①當(dāng)t≤ 時，如圖1，過點M作MH⊥x軸，垂足為H，

在Rt△MOH中，因為∠AOB=60°，

所以MH=OMsin60°=（2﹣4t）× = （1﹣2t），

OH=0Mcos60°=（2﹣4t）× =1﹣2t，

所以NH=（6﹣4t）﹣（1﹣2t）=5﹣2t，

所以s=[ （1﹣2t）]2+（5﹣2t）2=16t2﹣32t+28

②當(dāng) ＜t≤ 時，如圖2，作MH⊥x軸，垂足為H，

在Rt△MOH中，MH= （4t﹣2）= （2t﹣1），NH= （4t﹣2）+（6﹣4t）=5﹣2t，

所以s=[ （1﹣2t）]2+（5﹣2t）2=16t2﹣32t+28

③當(dāng)t＞ 時，同理可得s=[ （1﹣2t）]2+（5﹣2t）2=16t2﹣32t+28，

綜上所述，s=[ （1﹣2t）]2+（5﹣2t）2=16t2﹣32t+28．

因為s=16t2﹣32t+28=16（t﹣1）2+12，

所以當(dāng)t=1時，s有最小值為12，所以甲、乙兩人距離最小值為2 km．

【解析】（1）用反證法說明．根據(jù)已知條件分別表示相關(guān)線段的長度，根據(jù)三角形相似得比例式說明；（2）根據(jù)兩個點到達(dá)O點的時間不同分段討論解答；（3）在不同的時間段運用相似三角形的判定和性質(zhì)分別求解析式，運用函數(shù)性質(zhì)解答問題．
【考點精析】利用二次函數(shù)的最值和勾股定理的概念對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．