Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（0，a），B（b，a），且a，b滿足（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A，B分別向下平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，分別得到點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，D，連接AC，BD，AB．

（1）求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)及四邊形ABDC的面積S四邊形ABCD；

（2）在y軸上是否存在一點(diǎn)M，連接MC，MD，使S△MCD＝S四邊形ABCD？若存在這樣一點(diǎn)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，試說(shuō)明理由；

（3）點(diǎn)P是直線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PO，當(dāng)點(diǎn)P在BD上移動(dòng)時(shí)（不與B，D重合），直接寫(xiě)出∠BAP，∠DOP，∠APO之間滿足的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）18；（2）M（0，2）或（0，﹣2）；（3）①當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上移動(dòng)時(shí)，∠APO＝∠DOP+∠BAP；②當(dāng)點(diǎn)P在DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，∠DOP＝∠BAP+∠APO；③當(dāng)點(diǎn)P在BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，∠BAP＝∠DOP+∠APO．

【解析】

（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)分別求出a、b，根據(jù)平移規(guī)律得到點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)求出S四邊形ABCD；

（2）設(shè)M坐標(biāo)為（0，m），根據(jù)三角形的面積公式列出方程，解方程求出m，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）分點(diǎn)P在線段BD上、點(diǎn)P在DB的延長(zhǎng)線上、點(diǎn)P在BD的延長(zhǎng)線上三種情況，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答．

解：（1）∵（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，

∴a﹣3＝0，b﹣6＝0，

，解得，a＝3，b＝6．

∴A（0，3），B（6，3），

∵將點(diǎn)A，B分別向下平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，分別得到點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，D，

∴C（﹣2，0），D（4，0），

∴S四邊形ABDC＝AB×OA＝6×3＝18；

（2）在y軸上存在一點(diǎn)M，使S△MCD＝S四邊形ABCD，

設(shè)M坐標(biāo)為（0，m）．

∵S△MCD＝S四邊形ABDC，

∴×6|m|＝×18，

解得m＝±2，

∴M（0，2）或（0，﹣2）；

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上移動(dòng)時(shí)，∠APO＝∠DOP+∠BAP，

理由如下：如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，

∵CD由AB平移得到，則CD∥AB，

∴PE∥CD，

∴∠BAP＝∠APE，∠DOP＝∠OPE，

∴∠BAP+∠DOP＝∠APE+∠OPE＝∠APO；

②當(dāng)點(diǎn)P在DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，同①的方法得，

∠DOP＝∠BAP+∠APO；

③當(dāng)點(diǎn)P在BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，同①的方法得，

∠BAP＝∠DOP+∠APO．