Question

矩形OABC的頂點(diǎn)A（-8，0）、C（0，6），點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx經(jīng)過A、D兩點(diǎn)，如圖所示．
（1）求點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D′的坐標(biāo)及a、b的值；
（2）在y軸上取一點(diǎn)P，使PA+PD長(zhǎng)度最短，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）將拋物線y=ax²+bx向下平移，記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A₁，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D₁，當(dāng)拋物線平移到某個(gè)位置時(shí)，恰好使得點(diǎn)O是y軸上到A₁、D₁兩點(diǎn)距離之和OA₁+OD1最短的一點(diǎn)，求此拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）由矩形的性質(zhì)可知B點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)辄c(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，所以可求出點(diǎn)D關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)D′的坐標(biāo)，把A點(diǎn)和D點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線y=ax²+bx可求出a，c的值；
（2）先設(shè)直線AD′的解析式為y=kx+n，由已知條件可求出k和n的值，再求出直線和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）設(shè)拋物線向下平移了m個(gè)單位，表示出點(diǎn)A₁，點(diǎn)D₁的點(diǎn)坐標(biāo)，又O是y軸上到A₁、D₁兩點(diǎn)距離之和OA₁+OD₁最短的一點(diǎn)，所以可求出此拋物線的解析式．

解答：解：（1）由矩形的性質(zhì)可知：B（-8，6），
∴D（-4，6）；點(diǎn)D關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)D′（4，6），
將A（-8，0）、D（-4，6）代入y=ax²+bx得：

64a-8b=0 16a-4b=6

，
∴

a=- 3 8 b=-3

；

（2）設(shè)直線AD′的解析式為y=kx+n，則：
∴

-8k+n=0 4k+n=6

，
解得：

k= 1 2 n=4

，
∴直線y=

1

2

x+4，與y軸交于點(diǎn)（0，4），
點(diǎn)P（0，4）；

（3）由于OP=4，故將拋物線向下平移4個(gè)單位時(shí)，有OA₁+OD₁最短；
∴y+4=-

3

8

x²-3x，
∴此時(shí)的解析式為y=-

3

8

x²-3x-4．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)，四邊形的綜合知識(shí)，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．此題屬于中考中的壓軸題，難度較大，知識(shí)點(diǎn)考查的較多而且聯(lián)系密切，需要認(rèn)真審題．