如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，E為AB上一點(diǎn)，把△CBE沿CE折疊，使點(diǎn)B恰好落在OA邊上的點(diǎn)D處，點(diǎn)A，D的坐標(biāo)分別為（5，0）和（3，0）．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求DE所在直線的解析式；
（3）設(shè)過點(diǎn)C的拋物線y=2x2+
3
bx+c（b＜0）與直線BC的另一個交點(diǎn)為M，問在該拋物線精英家教網(wǎng)上是否存在點(diǎn)G，使得△CMG為等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出BC=CD=AO=5，可在直角三角形OCD中，根據(jù)CD和OD的長用勾股定理求出OC的值．即可得出C點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）本題的關(guān)鍵是求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，可設(shè)AE=x，那么BE=DE=4-x，在直角三角形DEA中，用勾股定理即可求出AE的長，也就求得了E點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出直線DE的解析式．
（3）根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出拋物線的待定系數(shù)中c=4，根據(jù)拋物線的和等邊三角形的對稱性，如果△CMG是等邊三角形，G必為拋物線頂點(diǎn)，可據(jù)此表示出G點(diǎn)的坐標(biāo)．設(shè)拋物線的對稱軸與直線BC的交點(diǎn)為F，那么可根據(jù)G點(diǎn)的坐標(biāo)和C點(diǎn)的坐標(biāo)求出CF和FG的長，然后根據(jù)△CMG是等邊三角形FG=
3
FC，據(jù)此可求出b的值，即可確定拋物線的解析式，然后根據(jù)拋物線的解析式即可求出G點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：精英家教網(wǎng)解：（1）根據(jù)題意，得CD=CB=OA=5，OD=3，
∵∠COD=90°，
∴OC=
CD2-OD2
=
52-32
=4．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，4）；

（2）∵AB=OC=4，設(shè)AE=x，
則DE=BE=4-x，AD=OA-OD=5-3=2，
在Rt△DEA中，DE2=AD2+AE2．
∴（4-x）2=22+x2．
解之，得x=
3
2
，
即點(diǎn)E的坐標(biāo)是（5，
3
2
）．
設(shè)DE所在直線的解析式為y=kx+b，
∴
3k+b=0
5k+b=
3
2

解之，得
k=
3
4
b=-
9
4

∴DE所在直線的解析式為y=
3
4
x-
9
4
；

（3）∵點(diǎn)C（0，4）在拋物線y=2x2+
3
bx+c上，
∴c=4．
即拋物線為y=2x2+
3
bx+c．
假設(shè)在拋物線y=2x2+
3
bx+c上存在點(diǎn)G，使得△CMG為等邊三角形，
根據(jù)拋物線的對稱性及等邊三角形的性質(zhì)，得點(diǎn)G一定在該拋物線的頂點(diǎn)上．
設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（m，n），
∴m=-
3
b
4
，n=
4×2×4-(
3
b)2
4×2
=
32-3b2
8
，
即點(diǎn)G的坐標(biāo)為（-
3
b
4
，
32-3b2
8
）．
設(shè)對稱軸x=-
3
4
b與直線CB交于點(diǎn)F，與x軸交于點(diǎn)H．
則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-
3
4
b，4）．
∵b＜0，
∴m＞0，點(diǎn)G在y軸的右側(cè)，
CF=m=-
3
b
4
，F(xiàn)H=4，F(xiàn)G=4-
32-3b2
8
=
3b2
8
．（*）
∵CM=CG=2CF=-
3
b
2
，
∴在Rt△CGF中，CG2=CF2+FG2，
（-
3
b
2
）2=（-
3
b
4
）2+（
3b2
8
）2．
解之，得b=-2．
∵b＜0
∴m=-
3
4
b=
3
2
，n=
32-3b2
8
=
5
2
．
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（
3
2
，
5
2
）．
∴在拋物線y=2x2+
3
bx+c（b＜0）上存在點(diǎn)G（
3
2
，
5
2
），使得△CMG為等邊三角形．
在（*）后解法二：Rt△CGF中，∠CGF=
1
2
×60°=30度．
∴tan∠CGF=
CF
FG
=
-
3
b
4
3b2
8
=-
2
3
3b
=tan30度．
∴-
2
3
3b
=
3
3
．
解之，得b=-2．
點(diǎn)評：本題著重考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、圖形翻折變換、等邊三角形的判定和性質(zhì)等重要知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在平面直角坐標(biāo)中，四邊形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，點(diǎn)P為x軸上的一個動點(diǎn)，但是點(diǎn)P不與點(diǎn)0、點(diǎn)A重合．連接CP，D點(diǎn)是線段AB上一點(diǎn)，連接PD．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)∠CPD=∠OAB，且
BD
AB
=
5
8
，求這時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•渝北區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)xoy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，3為半徑畫圓，從此圓內(nèi)（包括邊界）的所有整數(shù)點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)）中任意選取一個點(diǎn)，其橫、縱坐標(biāo)之和為0的概率是
5
29
5
29
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)中，等腰梯形ABCD的下底在x軸上，且B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），則AC長為
5
5
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)xOy中，已知點(diǎn)A（-5，0），P是反比例函數(shù)y=
k
x
圖象上一點(diǎn)，PA=OA，S△PAO=10，則反比例函數(shù)y=
k
x
的解析式為（　�。�

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)中，四邊形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°，動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，在梯形OABC的邊上運(yùn)動，路徑為O→A→B→C，到達(dá)點(diǎn)C時停止．作直線CP．
（1）求梯形OABC的面積；
（2）當(dāng)直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時，求直線CP的解析式；
（3）當(dāng)△OCP是等腰三角形時，請寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)（不要求過程，只需寫出結(jié)果）．

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