Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙P與y軸相切于點(diǎn)C，與x軸交于A（x₁，0），B（x₂,0）兩點(diǎn)，其中x₁，x₂是方程x²-10x+16=0的兩個(gè)根，且x₁<x₂，連接BC，AC．

（1）求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Ｑ,使△QAC的周長(zhǎng)最小，若存在求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）點(diǎn)Ｍ在第一象限的拋物線上，當(dāng)△MBC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)Ｍ的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式（2）存在；Q（5，）（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4,2）

試題分析：（1）解：解方程x²-10x+16=0，由x₁<x_2，得
x₁=2,x₂=8
∴A(2,0)  B(8,0);      
OA=2,OB=8
∵OC切⊙P于點(diǎn)C
∴∠ACO=∠ABC
∴ΔOCA∽OBC
∴OC²=OA·OB=16，OC＞0
∴OC=4 ∴C(0，-4)         
設(shè)過A,B,C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a(x-2)(x-8)
∴16a=-4 ∴a=
∴y=(x-2)(x-8)=        
(2)存在. ∵A,B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴直線BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q.      
用待定系數(shù)法易求直線BC的解析式為     
當(dāng)時(shí)，
∴Q（5，）     
（3）過點(diǎn)M作ME⊥BC與E,交軸于點(diǎn)D,作MN⊥CD于N
∴∠D＋∠DCE＝90°,而∠OBC＋∠OCB＝90°
∴∠D＝∠OBC＝∠OCA
∴ΔDMN∽ΔCAO∽ΔDCE          
∵OA＝2，OC＝4  ∴AC=
而,        
∴MN=,DN＝,DM＝
而ON＝   
DC＝
∴DE＝ 
∴ME=DE-DM=－
＝     
∴＝·
＝
＝          
即當(dāng)時(shí)，ΔBCM的面積最大.
在=中，時(shí)，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4,2）          
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓相切，一元二次方程，拋物線，掌握直線與圓相切的概念和性質(zhì)，會(huì)求一元二次方程的解，會(huì)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式