【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,CB,CD分別切⊙O于點B,D,CD交BA的延長線于點E,CO的延長線交⊙O于點G,EF⊥OG于點F.
(1)求證:∠FEB=∠ECF;
(2)若BC=6,DE=4,求EF的長.

【答案】
(1)證明:∵CB,CD分別切⊙O于點B,D,

∴OC平分∠BCE,即∠ECO=∠BCO,OB⊥BC,

∴∠BCO+∠COB=90°,

∵EF⊥OG,

∴∠FEB+∠FOE=90°,

而∠COB=∠FOE,

∴∠FEB=∠ECF;


(2)解:連接OD,如圖,

∵CB,CD分別切⊙O于點B,D,

∴CD=CB=6,OD⊥CE,

∴CE=CD+DE=6+4=10,

在Rt△BCE中,BE= =8,

設⊙O的半徑為r,則OD=OB=r,OE=8﹣r,

在Rt△ODE中,r2+42=(8﹣r)2,解得r=3,

∴OE=8﹣3=5,

在Rt△OBC中,OC= =3

∵∠COB=∠FOE,

∴△OEF∽△OCB,

= ,即 = ,

∴EF=2


【解析】(1)利用切線長定理得到OC平分∠BCE,即∠ECO=∠BCO,利用切線的性質(zhì)得OB⊥BC,則∠BCO+∠COB=90°,由于∠FEB+∠FOE=90°,∠COB=∠FOE,所以∠FEB=∠ECF;(2)連接OD,如圖,利用切線長定理和切線的性質(zhì)得到CD=CB=6,OD⊥CE,則CE=10,利用勾股定理可計算出BE=8,設⊙O的半徑為r,則OD=OB=r,OE=8﹣r,在Rt△ODE中,根據(jù)勾股定理得r2+42=(8﹣r)2 , 解得r=3,所以OE=5,OC=3 ,然后證明△OEF∽△OCB,利用相似比可計算出EF的長.
【考點精析】認真審題,首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2),還要掌握垂徑定理(垂徑定理:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧)的相關知識才是答題的關鍵.

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