Question

【題目】已知拋物線與x軸交點(diǎn)A(1,0),B(-3,0) .與y軸交點(diǎn)B(0,3),如圖1所示，D為拋物線的頂點(diǎn)。

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1若R為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AR，則RB+AR的最小值為

（3）在x軸上取一動(dòng)點(diǎn)P（m,0），，過點(diǎn)P作x軸的垂線，分別交拋物線、CD、CB于點(diǎn)Q、F、E，如圖2所示,求證EF=EP.

（4）設(shè)此拋物線的對(duì)稱軸為直線MN，在直線MN上取一點(diǎn)T，使∠BTN=∠CTN.直接寫出點(diǎn)T的坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為；

（2）；

（3）， ， ，證明見解析.

（4）T的坐標(biāo)（-1，6）

【解析】分析：（1）直接利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；（2）由 RB+AR的值最小，可知RB為等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)，當(dāng)AR與等腰直角三角形的一邊在一條直線上時(shí)， RB+AR最短，從而求解.

（1）

（2）2 .

(3) 理由是：y=x2x+3=(x+1) +4,則D的坐標(biāo)是(1,4).

設(shè)直線BC的解析式是y=kx+b,則，解得： ，

則直線BC的解析式是y=x+3.同理，直線CD的解析式是y=2x+6.

∵動(dòng)點(diǎn)P(m,0)在x軸上，3<m<1，且PF⊥x軸。

∴點(diǎn)E(m,m+3),點(diǎn)F(m,2m+6),即PE=m+3,PF=2m+6.EF=PFPE=(2m+6)(m+3)=m+3，

∴EF=EP；

（4）T的坐標(biāo)（-1,6）