Question

【題目】已知：如圖①，在平行四邊形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB．△ACD沿AC的方向勻速平移得到△PNM，速度為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿著CB方向勻速移動(dòng)，速度為1cm/s；當(dāng)△PNM停止平移時(shí)，點(diǎn)Q也停止移動(dòng)，如圖②．設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜4）．連接PQ、MQ、MC．解答下列問(wèn)題：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥AB？

（2）當(dāng)t=3時(shí)，求△QMC的面積；

（3）是否存在某一時(shí)刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）； （2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)PQ∥AB，得出關(guān)于t的比例式，求解即可；

（2）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC于D，根據(jù)△CPD∽△CBA，列出關(guān)于t的比例式，表示出PD的長(zhǎng)，再根據(jù)S△QMC=QCPD，進(jìn)行計(jì)算即可；

（3）過(guò)點(diǎn)M作ME⊥BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，根據(jù)△CPD∽△CBA，得出，，再根據(jù)△PDQ∽△QEM，得到，即PDEM=QEDQ，進(jìn)而得到方程，求得或t=0（舍去），即可得出當(dāng)時(shí)，PQ⊥MQ．

試題解析：（1）如圖所示，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，

∴Rt△ABC中，AC=4，

若PQ∥AB，則有，

∵CQ=PA=t，CP=4﹣t，QB=5﹣t，

∴，

即20﹣9t+t2=t2，

解得，

當(dāng)時(shí)，PQ∥AB；

（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，

∴∠PDC=∠A=90°，

∵∠PCD=∠BCA

∴△CPD∽△CBA，

∴，

當(dāng)t=3時(shí)，CP=4﹣3=1，

∵BA=3，BC=5，

∴，

∴，

又∵CQ=3，PM∥BC，

∴；

（3）存在時(shí)刻，使PQ⊥MQ，

理由如下：如圖所示，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，

∵△CPD∽△CBA，

∴，

∵BA=3，CP=4﹣t，BC=5，CA=4，

∴，

∴，．

∵PQ⊥MQ，

∴∠PDQ=∠QEM=90°，∠PQD=∠QME，

∴△PDQ∽△QEM，

∴，即PDEM=QEDQ．

∵ ，

，

，

∴，

即2t2﹣3t=0，

∴或t=0（舍去），

∴當(dāng)時(shí)，PQ⊥MQ．