Question

如圖，要在河邊修建一個水泵站，分別向張村A和李莊B送水，已知張村A、李莊B到河邊的距離分別為2km和7km，且張、李二村莊相距13km．
（1）水泵應(yīng)建在什么地方，可使所用的水管最短？請在圖中設(shè)計出水泵站的位置；
（2）如果鋪設(shè)水管的工程費用為每千米3000元，為使鋪設(shè)水管費用最節(jié)省，請求出最節(jié)省的鋪設(shè)水管的費用為多少元？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)“軸對稱的性質(zhì)”和“兩點之間線段最短”來找點P的位置．作點A關(guān)于河邊所在直線l的對稱點A′，連接A′B交l于P，則點P為水泵站的位置；
（2）利用了軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，兩點之間線段最短的性質(zhì)即可求解．

解答：解：（1）作點A關(guān)于河邊所在直線l的對稱點A′，連接A′B交l于P，則點P為水泵站的位置，此時，（PA+PB）的值最小，即PA與PB的長度之和最短，即所鋪設(shè)水管最短；

（2）過B點作l的垂線，過A′作l的平行線，設(shè)這兩線交于點C，則∠C=90°．
過A作AE⊥BC于E；
在直角△ABE中，依題意得：BE=5，AB=13，
根據(jù)勾股定理可得：AE=

AB2-BE2

=12．
∴由平移關(guān)系可得：A′C=AE=12，在Rt△B A′C中，∵BC=7+2=9，A′C=12，
根據(jù)勾股定理可得：A′B=

A′C2+BC2

=

122+92

=15，
∵PA=PA′，
∴PA+PB=A′B=15．
∴最節(jié)省的鋪設(shè)水管費用為：3000×15=45000（元）．

點評：考查最短路線問題；作出輔助線，構(gòu)造出最短路線為斜邊的直角三角形是解決本題的難點．