【題目】已知:如圖,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)0.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為1cm/s;同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā),沿DC方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為1cm/s;當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).連接PO并延長(zhǎng),交BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)Q作QF∥AC,交BD于點(diǎn)F.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0<t<6),解答下列問題:
(1)當(dāng)t為何值時(shí),△AOP是等腰三角形?
(2)設(shè)五邊形OECQF的面積為S(cm2),試確定S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在某一時(shí)刻t,使S五邊形S五邊形OECQF:S△ACD=9:16?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(4)在運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在某一時(shí)刻t,使OD平分∠COP?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)或5;(2);(3);(4)2.88.
【解析】試題(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理得到AC=10,①當(dāng)AP=PO=t,如圖1,過P作PM⊥AO,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AP=t=,②當(dāng)AP=AO=t=5,于是得到結(jié)論;
(2)作EH⊥AC于H,QM⊥AC于M,DN⊥AC于N,交QF于G,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CE=AP=t,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)表示出EH,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)表示出QM,FQ,根據(jù)圖形的面積即可得到結(jié)論;
(3)根據(jù)題意列方程得到t的值,于是得到結(jié)論;
(4)由角平分線的性質(zhì)得到DM的長(zhǎng),根據(jù)勾股定理得到ON的長(zhǎng),由三角形的面積公式表示出OP,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論.
試題解析:(1)∵在矩形ABCD中,Ab=6cm,BC=8cm,
∴AC=10,
①當(dāng)AP=PO=t,如圖1,過P作PM⊥AO,
∴AM=AO=,
∵∠PMA=∠ADC=90°,∠PAM=∠CAD,
∴△APM∽△ADC,
∴,
∴AP=t=,
②當(dāng)AP=AO=t=5,
∴當(dāng)t為或5時(shí),△AOP是等腰三角形;
(2)作EH⊥AC于H,QM⊥AC于M,DN⊥AC于N,交QF于G,在△APO與△CEO中,
∵∠PAO=∠ECO,AO=OC,∠AOP=∠COE,
∴△AOP≌△COE,
∴CE=AP=t,
∵△CEH∽△ABC,
∴,
∴EH=,
∵DN==,
∵QM∥DN,
∴△CQM∽△CDN,
∴,即,
∴QM=,
∴DG==,
∵FQ∥AC,
∴△DFQ∽△DOC,
∴,
∴FQ=,
∴S五邊形OECQF=S△OEC+S四邊形OCQF==,
∴S與t的函數(shù)關(guān)系式為;
(3)存在,
∵S△ACD=×6×8=24,
∴S五邊形OECQF:S△ACD=():24=9:16,解得t=,t=0,(不合題意,舍去),
∴t=時(shí),S五邊形S五邊形OECQF:S△ACD=9:16;
(4)如圖3,過D作DM⊥AC于M,DN⊥AC于N,
∵∠POD=∠COD,
∴DM=DN=,
∴ON=OM==,
∵OPDM=3PD,
∴OP=,
∴PM=,
∵,
∴,解得:t≈15(不合題意,舍去),t≈2.88,
∴當(dāng)t=2.88時(shí),OD平分∠COP.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將矩形紙片ABCD折疊,使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合,點(diǎn)C落在點(diǎn)處,折痕為EF,若∠ABE=20°,那么∠DEF的度數(shù)為_______.
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【題目】如圖,在△ABC 中 AB=AC,D、E 兩點(diǎn)分別在 AC、BC 上,BD 是∠ABC 的平分線,DE∥AB,若 BE=5cm,CE=3cm,則△CDE 的周長(zhǎng)是( )
A. 13cmB. 11cmC. 9cmD. 8cm
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【題目】在我國民間流傳著許多詩歌形式的數(shù)學(xué)算題,這些題目敘述生動(dòng)、活潑,它們大都是關(guān)于方程和方程組的應(yīng)用題.由于詩歌的語言通俗易懂、雅俗共賞,因而一掃純數(shù)學(xué)的枯燥無味之感,令人耳目一新,回味無窮.請(qǐng)根據(jù)下列詩意列方程組解應(yīng)用題.
周瑜壽屬:而立之年督東吳,早逝英年兩位數(shù);十比個(gè)位正小三,個(gè)位六倍與壽符;哪位同學(xué)算得快,多少年壽屬周瑜?詩的意思是:周瑜病逝時(shí)的年齡是一個(gè)大于30的兩位數(shù),其十位上的數(shù)字比個(gè)位數(shù)字小3,個(gè)位上的數(shù)字的6倍正好等于這個(gè)兩位數(shù),求這個(gè)兩位數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若等腰三角形的頂角為36°,則這個(gè)三角形就是黃金三角形。如圖,在△ABC中,BA=BC,D 在邊 CB 上,且 DB=DA=AC。
(1)如圖1,寫出圖中所有的黃金三角形,并證明;
(2)若 M為線段 BC上的點(diǎn),過 M作直線MH⊥AD于 H,分別交直線 AB,AC與點(diǎn)N,E,如圖 2,試寫出線段 BN、CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人共同計(jì)算一道整式乘法題:(2x+a)(3x+b).甲由于把第一個(gè)多項(xiàng)式中的“+a”看成了“﹣a”,得到的結(jié)果為6x2+11x﹣10;乙由于漏抄了第二個(gè)多項(xiàng)式中x的系數(shù),得到的結(jié)果為2x2﹣9x+10.
(1)求a、b的值.
(2)計(jì)算這道乘法題的正確結(jié)果.
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【題目】已知:如圖,等邊三角形ABC中,D、E分別是BC、AC上的點(diǎn),且AE=CD,
(1)求證:AD=BE
(2)求:∠BFD的度數(shù).
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,F是CD上一點(diǎn),E是BF上一點(diǎn),連接AE、AC、DE.若AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=70°,AE平分∠BAC,則下列結(jié)論中:①△ABE≌△ACD:②BE=EF;③∠BFD=110°;④AC垂直平分DE,正確的個(gè)數(shù)有( )
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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【題目】如圖,點(diǎn)B、E、C、F在同一直線上,且AB=DE,AC=DF,BE=CF,請(qǐng)將下面說明ΔABC≌ΔDEF的過程和理由補(bǔ)充完整。
解:∵BE=CF ( )
∴BE+EC=CF+EC
即BC=EF
在ΔABC和ΔDEF中
AB= ( )
=DF( )
BC=
∴ΔABC≌ΔDEF ( )
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