【題目】如圖,已知拋物線y=- x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和B,與y軸交于點(diǎn)C(0,3).

(1)求此拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo);

(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D,連接CD、DB、CB、AC.

①求證:△AOC∽△DCB;②在坐標(biāo)軸上是否存在與原點(diǎn)O不重合的點(diǎn)P,使以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△DCB相似?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

【答案】(1)(3,0);(2)①見解析, P1(9,0)或P2(0,

【解析】試題分析:(1)由C0,3)得出拋物線解析式為y=x2+bx+3,將點(diǎn)A的橫縱坐標(biāo)代入解析式求出b,令y=0,解出x即可得點(diǎn)B 的坐標(biāo);(2DEy軸交于點(diǎn)E不難求出ACB=DCE=45°, DCB=AOC=90°,由勾股定理求出CDBC=的長(zhǎng)度,不難發(fā)現(xiàn),即可證明△AOC∽△DCB分情況討論:1.以C為頂點(diǎn)的角是90°時(shí);2.A為頂點(diǎn)的角是90°時(shí),分別求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.

試題解析:

解:(1C0,3),∴拋物線解析式為y=x2+bx+3

A(-1,0),1b+3=0,解得b=2.

∴拋物線的解析式為:y=x2+2x+3

y=0,則-x2+2x+3=0,解得:x1=1,x2=3,

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3,0);

2①證明:作DEy軸交于點(diǎn)E,

可求得頂點(diǎn)D14),OA=1,OC=OB=3

∴∠OCB=45°,DE=1,EO=4,

EC=1

∴∠DCE=45°,

故∠DCB=90°=AOC,

由勾股定理求得:CD=BC=3,

,

∴△AOC∽△DCB

②存在符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè):P190)或P20, .

1.C為頂點(diǎn)的角是90°時(shí),

∵∠ACO+CAO=90°CPO+OCP=90°,

∴∠CPO=ACO,

∴∠CPO=DBC,

∵∠DCB=ACP=90°

∴△PCA∽△BCD,

∴∠DBC=APC

tanDBC=tanAPC,即=,

OP=9

P9,0);

2.A為頂點(diǎn)的角是90°時(shí),

同理可證△AOP∽△BCD,

∴∠DBC=PAO

tanDBC=tanPAO,即=,

OP=,

P0 .

綜上可得:存在符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè):P19,0)或P20, .

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已知:如圖3,在四邊形ABCD中,DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD,試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論探究∠P與∠A+∠B的數(shù)量關(guān)系.

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⑵.求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤(rùn)(元)與銷售價(jià)(元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系式;

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