Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿邊AB向點B運動．過點P作PD⊥AB交折線AC﹣CB于點D，以PD為邊在PD右側(cè)做正方形PDEF．設(shè)正方形PDEF與△ABC重疊部分圖形的面積為S，點P的運動時間為t秒（0＜t＜4）．

（1）當點D在邊AC上時，正方形PDEF的邊長為　 　（用含t的代數(shù)式表示）．

（2）當點E落在邊BC上時，求t的值．

（3）當點D在邊AC上時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

（4）作射線PE交邊BC于點G，連結(jié)DF．當DF＝4EG時，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）2t；（2）；（3）；（4）t＝或

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可得：∠A＝∠ADP＝45°，即AP＝DP＝2t；

（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可得：AB＝AP+PF+FB，即2t+2t+2t＝8，可求t的值；

（3）分兩種情況討論，根據(jù)重疊部分的圖形的形狀，可求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）分點E在△ABC內(nèi)部和△ABC外部兩種情況討論，根據(jù)平行線分線段成比例，可求t的值．

（1）∵∠C＝90°，AC＝BC，

∴∠A＝45°＝∠B，且DP⊥AB，

∴∠A＝∠ADP＝45°，

∴AP＝DP＝2t，

故答案為2t，

（2）如圖，

∵四邊形DEFP是正方形，

∴DP＝DE＝EF＝PF，∠DPF＝∠EFP＝90°，

∵∠A＝∠B＝45°，

∴∠A＝∠ADP＝∠B＝∠BEF＝45°，

∴AP＝DP＝2t＝EF＝FB＝PF，

∵AB＝AP+PF+FB，

∴2t+2t+2t＝8，

∴t＝；

（3）當0＜t≤時，正方形PDEF與△ABC重疊部分圖形的面積為正方形PDEF的面積，

即S＝DP2＝4t2，

當＜t≤2時，如圖，正方形PDEF與△ABC重疊部分圖形的面積為五邊形PDGHF的面積，

∵AP＝DP＝PF＝2t，

∴BF＝8﹣AP﹣PF＝8﹣4t，

∵BF＝HF＝8﹣4t，

∴EH＝EF﹣HF＝2t﹣（8﹣4t）＝6t﹣8，

∴S＝S正方形DPFE﹣S△GHE，

∴S＝4t2﹣×（6t﹣8）2＝﹣14t2+48t﹣32，

綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為.

（4）如圖，當點E在△ABC內(nèi)部，設(shè)DF與PE交于點O，

∵四邊形PDEF是正方形，

∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°，

∴∠DFP＝∠ABC＝45°，

∴DF∥BC，

∴，

∵DF＝4EG，

∴設(shè)EG＝a，則DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO，

∴PG＝5a，

∴，

∴，

∴t＝，

如圖，當點E在△ABC外部，設(shè)DF與PE交于點O，

∵四邊形PDEF是正方形，

∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°，

∴∠DFP＝∠ABC＝45°，

∴DF∥BC，

∴，

∵DF＝4EG，

∴設(shè)EG＝a，則DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO，

∴PG＝3a，

∵，

∴，

∴t＝，

綜上所述：t＝或.